Extension de la méthode de Laplace 



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où eij=0{i<^q — ;) et où les coefficients fC,], et out été formés des coefficients 

 de l'équation (61) de la même manière que les coefficients C,- et Qi ont été formés 

 des coefficients de l'équation (20) [pages 25, 26]. Nous sommes partis de ce que l'équa- 

 tion (20) admet une IT-intégrale, mais la définition en question des expressions 

 [j = \,2, ... q) est valable aussi dans le cas où l'équation (20) n'admet pas une 

 F-intégrale (voir pages 64, 65). — 11 est aisé de voir que la définition en 

 question est valable aussi pour l'expression (E>q+i(^q), car les conditions (63) où 

 j = q -\- ^ nous donnent e,-. ^ + i= 0 (^ = 1, 2, . . . q). 



Si nous supposons que l'équation [E^] soit d'ordre p+ 1 [p <i q), on voit aisément 

 qu'on peut définir les expressions (j = 1, 2, . . . p -\- 1) d'une manière un 



peu modifiée (en remplaçant q par p); l'expression ^j{sqj est de la forme 



p 



l'équation qui définit iSq étant désignée = 0. 



Nous avons ainsi obtenu deux définitions différentes des expressions 

 ^j{zq) {j = \, 2, ... g + 1). D'un côté, les expressions <^j + i{0q) [j = 0, 1, ... g) 

 peuvent être obtenues par les formules (60) et (60'), et de l'autre côté, les expressions 

 ^ji^q) (i = Il 2, ... g + 1) peuvent se mettre sous la forme (62), où les j coefficients 

 eij {i = q — / + 1, q — ? 4" 2, ... g) sont déterminées, à un facteur près, par les 

 relations (63). En égalant les deux formules des expressions ^j{0q) {j —\, 2, ... q -{- 1), 

 nous allons obtenir des relations entre les invariants de l'équation [E) et ceux de 

 l'équation (E^). 



Supposons d'abord 



,40 {i = 1, 2, . . , q). 



Les relations entre les coefficients [i= q — i + 1, S " .i + 2, ... g), qu'on obtient 

 des relations (63), peuvent s'écrire (voir page 53) 



(68') 's'(-l)'"e,- + i,i[Ç,7,li = 0 (/i=l, 2, ...j-1), 



1 = 0 



où eij = 0 [i <^q — j) et où les coefficients [Qij]^ ont été formés des coefficients de 

 l'équation (61) de la même manière que les coefficients Qij ont été formés des coeffi- 

 cients de l'équation (20) (page 26). Les équations (60) et (60') nous donnent 



ß<3-i-f i,i = (~ l)-^""^^q-,74-l,i-l- 

 — Comme 4>j = = <Sq, nous avous [Bq]^ = Bq . L'équation (60) nous donnent 



^. = -Ä.-l^^l + (^.-2 + i^;-l)<î>, + (ff,-l)^ 



Puisque Cq-x = — -^q-i, Qq- 1= (selon la définition), nous avons (voir page 49) 



^&q{rc) = &q-.l(^) - ^,;_lô<;(2) + Kq^-^Z. 



Il en suit 



^^=-Hq^,[%^,- \Aq ^ i], ^q + [Kq _ i],) + [Hq _ , + H'q _ J ^q + [Hq _ 



