Extension de la méthode de Laplace 



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où les coefficients e;, ,+i {i = q — '>\ q — vérifient les r relations qu'on 



obtient des équations (63) oùy = r-|-l- Nous avons ainsi trouvé 



(Ü4) et, r+l = pr+l [e'ir + r) + <^r+l e,V + t,+i 6,-, ,—1 [i =3 — T, q — T -\- \ , . . . q). 



Les équations (63) où j = r nous donnent [comparer page 53] 



^ (- 1)' (e,+2, r + + 1, r) [Qii,V = 0 (/i = 1 , 2, . . . r - 2), 



OÙ e/,- = 0 (i<^q—r). En partant de la définition des coefficients e,>, ,— i et 

 en tenant compte des relations (64), nous trouvons ainsi 



q — h 



2 (-!)'• É>,+i, ,+1 [Ç.yJi = 0 (/i = 1 , 2, . . . r - 2), 



i = 0 



OÙ ,.+1 = 0 (^ <ç — r — 1), Mais en partant directement de la définition des coef- 

 ficients e,-, , nous aurons 



q — h 



^ (-1 )'>,■+!,, +i[Ç,aJi = 0 



2 = 0 



(/i=l, 2, ...r). 



En égalant les deux expressions de ^r+ii^q), nous obtiendrons par suite les deux 

 équations 



q — h 



5] (- l)'>,-+i, ,.+1 [^./,Ji = 0 



(/i = r-l, r), 



1 = 0 



où ,.+1 = 0 {i^q — r — 1), qui donnent deux relations entre les coefficients de 

 l'équation (20) et ceux de l'équation (61). En tenant compte des équations (64), les 

 deux relations obtenues peuvent s'écrire 



q-r+l 



(Ö5) p, + i ^ (-1)* (e,+ o , + + ,) [(?,■ ,„i]i + 



z = 0 

 q-r+1 



2=0 



q-r 



(66) p, + i ^ (-1)' (e,+ 2, , + ,) [(?,- ,]i -f (-!)'?-'• a, + i + [Ç, r]i = 0, 



■ [q > r 



2 = 0 



OÙ e/,. = 0 (^^^ — r) et où g,- = 0 [i ^q — f -\- \]. En tenant compte des 

 équations (63) où j = r, l'équation (65) peut s'écrire 



[Qq-r, r] l + r-2]l , 



Pr + l + ,• 7-;- ^ Tc + i eq__,.^2, - 1 l^,; - ,H- 1, r ~ ijl , 



[Vq -f + l, r-ljl 



Lunds Univ. Arsski-ift. N. P. Afd. 2. Bd 7. 



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