Extension de la méthode de I.aplace 83 



(voir page 80) dans l'équatioa (66) et en tenant compte des relations 

 {Qq — ,; /Ji = iîf,_/, / {i = r — 1, )•), nous pouvons écrire l'équation (66) sous la fornae 



Sq^r, r— 1 "H H'q—r+1, r—1 + [Qq—r, r-l]l Hq—r—\, r H- Hg^,-, r 4" [Çq~ r 1, r]l 



Hq~i--\-l, r-1 Hq^r, r 



Nous avons déjà trouvé 



(page 80). Ainsi les équations (66) (?■ = 2, 3, . . . g) nous donnent les relations 



7? = — L^î-i h (' = • • • 2)- 



Pour r = 2, cette relation devient H'oq = — Hog . Nous avons ainsi obtenu 



les q—1 relations 



(r-1, 2, ...q-l) 



Hq-i—l, r -\- H'q—r, 1 -\- [Qq—r- ^1, r]l Hpq 



ffq — r, )■ H(,q 



D'après la définition de Qij, nous avons 



Qq — )• — 1, r -^q — r — 1, r ^ -^q — 1 J^q — r, r • 



Par suite, les relations obtenues peuvent s'écrire : 



Hq^r-l, ,.4-^-> SJ: + [Kq^r-1, , ]x _ T Hjq _ J ^ 2, . . . Ç - 1 ) 



Hq — r, r Q J^Oq 



— Nous avons 



Aq—x=0, [Bq]l = Bq , Ho.^ [Aq = Hoq , 



et d'après la définition de Hq-i et de Kq^i, nous avons 



8-4g_ 1 dBq „ _^ 



dx ^ dy 

 Il en suit 



(67") [Hq-x],= 2Hq_,- Eq-, 



d''\o^S0q 



Cette relation est analogue à la relation 



^ dxdy 



qui a lieu entre les invariants de l'équation (1) [page 69]. 



En comparant les deux définitions différentes des expressions %{zq) {j = 1, 2, ... 

 q + 1), nous avons ainsi obtenu les 2q relations (67), (67'), (67"), lesquelles lient 

 les invariants de l'équation {E) avec ceux de l'équation (£",). 



A l'aide de ces 2q relations, les 2q invariants 



i]i (^•= 1,2, . . , g), [Eq-,--i,ih (^ = 1 , 2, . . . g - 1) 

 s'expriment en fonction de 



(68) Eq^u Hq-ui {1=1,2, ...q). (î= 1, 2, . . . g- 1) 



