Extension de la méthode de Laplace 85 



[K^-i,i]i [i=\.2,...q], (•i= 1, 2, . . . 1) 



s'exprimeut d'uue manière très simple au moyen des invariants (68); en partant 

 des invariants 



[Zr,_i]i, [-fir,-,-,, -k (z = 1, 2, . . . g), (1=1, 2,.. .2-1), 



on peut calculer les invariants 



(^=l,2, ...g), (^•=l,2,...g-l); 



si [i/q _ ,]i 4= 0 (« = 1,2, ... q), on peut en partant des invariants obtenus calculer les 

 invariants de l'équation (-E",); de cette manière on peut continuer. Pour l'appli- 

 cation pratique de la méthode de Laplace, il serait évidemment d'iini)ortance de 

 pouvoir exprimer sous une forme simple les invariants (68) au moyen des in- 

 variants (68'), c'est-à-dire déduire les invariants (68) des invariants (68') sans cal- 

 culer tous les invariants Ji, Hi, Ii. Mais je n'ai pas réussi à obtenir les 

 relations qui lient les invariants (68) et les invariants (68') sous une forme simple. 



Jusqu'ici nous avons supposé _ ,■ =|= 0 {r —,1,2, ... q). Il reste à rechercher 

 les relations entre les invariants des équations [E] et {E^), si cette condition n'est 

 pas remplie. 



Supposons 



4=0 (r= 1,2, ...p), H,_r. r = 0 {r=p+l.p^2, ... q). 



L'équation (E) admet q — p X-intégrales distinctes de rang 1, et l'équation [E^) est 

 d'ordre ^ + 1. Nous écrivons l'équation {E^): 



= t (lAl. ^ + (Al. %) = 0. [Al = 1. 



En comparant les deux définitions des expressions ^>r(^q) (r = 1, 2, ... + 1), nous 

 aurons de la même manière qu'auparavant les 2^-1-1 relations 



(70) [Kp-r,r]l = H,_r,r {r = \ , 2, . . . p), 



Hq-r- 1, r + Hq _ ,., r + - r - 1, r]l = [Äp ^ i]l _ ,. ()' = 1, 2, . . . p). 



Comme 



p — T 



nous aurons 



(70') - — '■ ^q — r. r '\' \Ep _ ,. _ r Hq — p — 1, p Hq — p. p 



Hq — r, r P Sq — p, p 



(r=l,2, ...p—\) 

 D'après la définition des invariants, nous avons 



