Extension de la méthode de Laplace 



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les coefficients e,-, s = — s +1, g — s -\-2, ... q-\-r -\- s — 1) vérifiant les conditions: 



+ — 1 r A 



i = 0 

 q + h 



h ! 



k = 0 

 h 



^ I {h- /•) 



ri-) 



= 0, 



= 0, 



(h = 0,l,... r+s— 2) 



où e,-3 = 0 (i<_q — s). Puisque e^-s + i, s^O, de ces relations nous pouvons déduire 



[Kis]i = 0 {i = q — s, g — 5 — 1, . . . q — 7- — s-\- l) . 

 Puisque [Kq^s + i, s-i]i + 0, il en suit 



\j = s, 5+1, .. .s + r — 2j' 



K,, r+sh = [Kis]i [ t f^-—. ^\ Y (^ = 0, 1, . . . g - r - 5) . 



L'expression 4>, 4. « + 1 (^5) peut se définir de la manière suivante 



7-j+l, s-lj 



r + 1 



dtj 



(r+1) 



TT(r+l- i) 



0 



0 



/o!(r+l-7.)! 

 ^ o-f-^-) 



i = 0 ^ 



H, 



(/—s. s— 1 



Ilq—j. s 



OÙ yr^j' + ^ç, ce qui suit des équations (59') et des équations analogues. Pour 

 abréger, écrivons 



r+1 



^7+1 = 



i = 0 



nous avons 



^î' + l, i + 1 _ i,. -1-1, i _ 1' 



"r, j + 1 _ H,; _ s, s _ 1 Hq -j - 1, s + + 1) H'q _y, s 



{j = r-\- s) 



' y -y ^) '-■'q-j, s 

 '^'■ + 1,7+1 -f^<;-s + i, s-i ^q~j,s 



De plus nous avons 



^s—l = 2 e,:, s -1 , _ s + 2, s — 1 = ( — iyHq — s + 2,s — 2, 



i=q—s+2 



OÙ les s — 1 coefficients e^, «— 1 (i = g' — s + 2, g — 5 + 3, ...3) remplissent les 5 — 2 

 conditions que l'on obtient des équations (63) où j = 5—1. De la définition de 

 l'expression ^s{Sq) nous pouvons déduire 



_8 

 dy 



I = 1 /; = 0 ^ ' 



(h - k) 



ei + ic, s 



(71 = 0, 1 r + 5- 1). 



