Extension de la méthode de Laplace 



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[-S^i;— s — r, s]] — "■ ( Hq — s—r, Si 



^'i-j. j 



En comparant les deux définitions de l'expression <ï>,. + .5 + i (s^q), nous avons ainsi 

 obtenu ces deux relations et les r équations (72'). A l'aide des équations (72') 

 et en tenant compte des relations obtenues entre les invariants des équations {E) 

 et (£^j), nous pouvons obtenir + s_i]i (î = 2, 3, . . . r -f l) en fonction de 



(1 ? ' -4— 5 \ 

 ■ . 11^* invariants de l'équation [E). Mais 



je n'ai pas réussi à obtenir ces relations sous uue forme simple. — Nous sommes partis 

 de la supposition s > 1. Dans le cas où s — \, il faut un peu modifier la 

 preuve. — En comparant enfin les deux définitions différentes des expressions 

 <^jj^i[zq) {j = r^s-]r\, r-f s + 2, ... 2), nous obtiendrons comme auparavant les 

 2(g — r — s) relations 



[ir,_,-,,-]i = /r,_,-,, (y = r+.9 + i, r + . + 2, ...^), 



H, 



(y = r + 5+ 1, r + 5 + 2, . . . g). 



Comme Aq-^ — 0, \Bq]i = Bq , les dernières relations peuvent être remplacées par 

 + H'q + =Lëk ^j^r-\-s+l, r + s^2,...q-l), 



Hq-j.j q JJoq 



d'IOgHoq 



\Hq.l]^^2Hq^t-K, 



1-1 



dxdy 



Nous avons ainsi obtenu les 2^ — r relations distinctes 



{Kq-j, = Hq _y, (^- = 1, 2, . . . 5 + r + 1, 



(73) 



.]l = (-l)* Hq^^ 



(^•=1,2, ...r), 



j H'o 



[Kq-J--1. j]l + Hq-j-h j + H'q-i, J = ~ ^q-.l, J fj- 



(^■ = 1, 2, ...^-1, .^ + r, ...3-I), 

 8' log So, 



A l'aide de ces relations, les invariants 



1,2, ...r), 



[Kq _j, y]i (j = 1 , 2, . . . .9, s + r + 1 , . . . g), [iT, _ , _ ,■, [i 



(^-=1, 2, ...5-1, s + r, ...g-I) 



se déduisent des invariants 



Hq-j,j (,y = 1, 2, ...5,s-f r+ 1, ...g), [H, (z = 1, 2, ... r), 



Hq-j-i,j (i=l, 2. ... s— 1, .9 + r, ... g — 1), 

 et inversement. A l'aide des équations (72'),- nous pouvons maintenant déterminer 

 les invariants 



[Kq^s + i-i,.-i]i (^ = 2, 3, ...r+1) 



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