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Louise Petrén 



en fonction des invariants de l'équation [E). Mais, comme je l'ai déjà dit, je n'ai 

 pas réussi à obtenir ces relations sous une forme simple. — Il est aisé de vérifier 

 que tous les invariants de l'équation {E^) s'expriment au moyen des 2q invariants 

 \H,_,]u U = h2,...s,s-i-r^h ..q), = 1, 2, . . . r), 



(.y = l« ^, 1, s-\-r, ... q—i), 



+ (i = 2, 3, ...r+1). 



Ainsi les relations qui lient les invariants de l'équation {E) avec ceux de l'équation 

 sont données par les 2g — r relations (73) et par les r relations qui peuvent 

 se déduire des équations (72'). 



Proposition 13. Supposons que l'équation [E^) soit d'ordre g + 1. Dans le cas où 



Hq^Ui^Q (^:= 1,2, ... g), 



les relations qu'il y a entre les invariants des équations [E] et [E^ sont données 

 par les 2q équations 



=3 , {i=.l,2,...q), 



f7q_i_i, i H ^— + {K^-i-1, ^^^ = - Hg^i, i — (i = 1, 2, . . . g— 1), 



à l'aide de ces 2q relations, nous obtenons les invariants 



[Hç^i]u (^■= 1, 2, .. . (/), [K,^i-i,i]i (z=l, 2, 



en fonction des invariants 



K,^i, H.^ij (^= 1, 2, ... 2), Uci-.i-.i,i (^ = 1, 2, ... ^ — 1), 



et de même inversement; tout invariant de l'équation {E^) est une fonction des 

 2q invariants obtenus. Dans le cas où 



Hq^i,i^Q (^= 1, 2, ... 5 — 1, s + r, ... g), i-/<,_,-,i = ü (i = s, ... .9+r— 1) , 



les 2q relations mentionnées se réduisent aux 2g — r relations distinctes ; les rela- 

 tions qu'il y a entre les invariants des équations {E) et [E^ sont données par les 

 2g — r relations 



,]i = iï,-,-, (z- = 1 , 2, . . . S, S + r -h 1, . . . g) , 



[K^^s- i, s]i = (— IfHg - s^i,s {i=l,2,... r), 



d// y oîf 



et par les r relations qui peuvent être déduites des équations (72'); à l'aide de ces 

 2q relations distinctes, on obtient les invariants 



[Kq-ij]! {i=l,2,...s,s^r^h ...q),. [K,-s-i,s]i (i = 1, 2, . . . r), 



(i=l,2,...5~l,.9 + r,...g-l), • 

 [ J:, , + (^■-2.3,...r+ 1) 



