Extension de la méthode de Laplace 91 



en fonction des invariants 



Hç^^i^i (ï = 1, 2, ... 6' + r + 1, ... 2), Hcf-s-i,s (i= 1. 2, ... r), 



Hq^i-i, i = 1, 2, ... S— 1, s + r, ... g — 1), 



+ s-i (i = 2, 3, ... r + 1), 



et de même inversement; tout invariant de l'équation {E^) est une fonction des 

 invariants obtenus. — Supposons que l'équation {E^) soit d'ordre p -\- l {p < g)- 

 Supposons 



iy,_,-,i + o = 1,2, .../.). 



Les relations qu'il y a entre les invariants des équations {E) et {E^) sont données 

 par les 2p équations 



{[K^-ù = (i= 1,2, ...p), 



, iî,-,--i, + — - + 4 - - £r,-, , + ) {^-h2,... p-1) , 



à l'aide de ces 2p relations, nous obtenons les invariants 



[iîp_x]i, (^ = 1,2, [Kp^i^i,i]i (^-=1,2, ...i^-l) 



en fonction des invariants de l'équation [E). Tout invariant de l'équation [E^) est une 

 fonction des invariants obtenus. 



Entre les invariants des équations [Ei] et (Ei où i^O, il existe 

 les relations analogues. Si les équations ' [Ei] et {Ei^i) sont de même ordre, 

 nous pouvons, à l'aide de ces relations et en partant des invariants de l'équation [Eî), 

 calculer les invariants de l'équation {Ei^i); de même, en partant des invariants de 

 l'équation (£",.1-1), nous pouvons calculer les invariants de l'équation {Ei). Il est 

 clair que le calcul des invariants des équations [E^] , [E^ , [E^, ... et (-ELi) , {E-2), 

 {E-s), ... sera de régie très compliqué. Pour le cas où Hq_jj =j= 0 {j = l,2, ...q), 

 les relations qu'il y a entre les invariants des équations (E) et (SJ sont obtenues, 

 il est vrai, à l'aide des équations très simples, par lesquelles les 2q invariants 



[/7,._i]i, [K,-jj]i 2, ...g), (i = 1, 2, ... g - ]), 



s'expriment au moyen des invariants 



K,_u H,.j, ,• (7 ^1,2,... g), (./ =1,2,... g-1), 



mais je n'ai pas réussi à exprimer les invariants 



2, ...g), U- = 1,2, ...g-1) 



en fonction des invariants 



(y=l,2, ...ç), [Kn-j-i.j]i (; = 1, 2,...2-l) 

 par des relations simples. Comme je l'ai dit déjà (page 74), ce sont les 2g invariants 



^q-jJ (i=1.2, ...g) 



