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Louise Petién 



de l'équation [E) qui correspondent le plus près aux invariants h et Je de l'équation 

 (1); ce sont seulement ces 2q invariants qui sont [de quelque importance pour recon- 

 naître si l'équation admet une intégrale de la forme d'Euler de rang 1. Parmi ces 

 2q invariants de l'équation les q derniers invariants s'obtiennent directement 

 des invariants de l'équation (E) , puisque 



mais les invariants [Hq_jj]i [j — 1, 2, ... q) ne s'obtiennent nullement aussi simplement 

 des invariants de l'équation (E). La désignation d'invariants est cependant 

 d'importance pour l'application pratique de la méthode de Laplace ; en introduisant 

 les invariants, l'on élimine le facteur arbitraire, et les fonctions essentielles des coeffi- 

 cients de l'équation restent. Puis l'on peut, dans des cas particuliers, obtenir les 

 expressions générales des invariants de l'équation {Ei) (^-^O), ce qui nous permet 

 de reconnaître si l'intégration de l'équation [E) peut être réduite à l'intégration 

 d'équations différentielles linéaires, ou à quel point l'intégration de l'équation peut 

 être simplifiée par la méthode de Laplace. Parfois la réduction à forme normale 

 peut remplacer l'emploi de la désignation d'invariants. 



Avant de quitter le chapitre des invariants, je vais traiter un exemple simple. 

 J'ai choisi parmi les équations (20) celles dont tous les invariants sont des constantes, 

 et je vais étudier à quel point l'intégration de ces équations peut être simplifiée 

 par la méthode de Laplace. 



Soit donnée une équation (20) dont tous les invariants sont des constantes ; 

 à l'aide de la substitution 0 = Xi, l'équâtion peut se mettre sous la forme 



Z4 l^^' -^^Jf + + ''''^^ dy'l^^^^ (a, _ 1 = &5 = 0 ; a, = 1 ) , 

 où les coefficients ai, hi, c sont des constantes. L'équation 



^^^^^ 2j ''"''■^^âpj^^^ (a,= 1; ?^,3=«,_i=.0; c + O), 



a,, hi, c étant des constantes, admet les invariants suivants: 



- 1 = — qc , /,■ = a i ( i = 0, 1 , ... g — 2) , 



Hi = ~-hi =0, 1, ... g— 1), /f,- = (- — (i- + l)c«,- + i) (^ = 0, 1, ... g— 1). 



La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (74) admette s X-intégrales 

 distinctes de rang 1 est que les deux équations 



admettent .s intégrales distinctes en commun, et la condition nécessaire et suffisante 

 pour cela est Hq ^jj = 0 [ j = q — s + 1 , q — s ^ 2, ... q). Nous avons 



