Extension de la méthode de Laplace 



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^-'(/-l ig-Ä 





hq-l 

 0 



hq-2 

 bq-1 





hq-i 

 hq-3 



hq^b 

 hq-i 



0 b,j^2 



ff q - H, S = 



0 



0 





l>q-2 



hq-S 



1 0 f?,,_2 ■ 





1 



u 





Clq-i 



Ctq-4 







0 



1 



0 





Clq-Z 



Hq-2, 2 = 



etc. Lorsque l'équation (74) admet s X-intégrales distinctes de rang 1, l'ordre de 

 l'équation peut être immédiatement diminué de s unités. Supposons Hoq^O. 

 L'ordre de l'équation (74) ne peut être diminué directement. L'équation [E^) est 

 obtenue très simplement. Nous avons ■^) 



^1 = 2 «; 



,^0 ' 8^ 



dx 



-\- cijZ, 



L'équation qui définit Zj peut par suite s'écrire 



y„,i(8£L+,,^,uVi,»!£.. = o, 



i = 0 



! = 0 



c'est-à-dire 

 (74') 



!=0 



tti— -. + ihi 4- (i -\- 1) cßi 4.1 + coi y] 



Z^ = 0. 



Cette équation est du même type et du même ordre que l'équation proposée (74), 

 et les invariants en sont 



[Iq - iji = — , = ai {/ =0, l, . . . q — 2) ; 



[H,-]i = -(5,-+(i+l)m,- + i) (^ = 0,l,...g-l),-[^:.]^ = (-l)<^ ({ ^ 0, 1 , ... g-1) ; 



^ = 0, 1, ...q—j\ 



il en résulte [ZT^Ji = (— l)-?-'-^' J/y 



Ces relations entre les 



vi = L 2, . . . g 



invariants des équations (E^) et {E) peuvent aussi être déduites des relations données 

 dans la proposition 13. Des valeurs obtenues pour les invariants de l'équation 

 [Ej), il suit immédiatement que les invariants de l'équation {Em) sont 



[Ii]m =^ Ii , [Hi]m = Hi — in{i-\- 1 ) ccii + 1 = — [hi + m (« -|- 1 ) ca,- + 1), j 



[Ki\n = Kt + (—1)«- i m (i+ 1) ca,-+i (-1 )'' (&,•+ {m—\){i+ 1 ) ca,+i 



(«=0,1, ...g-1)- 



pourvu que l'équation (jE^^) soit d'ordre n La condition nécessaire et suffisante 

 pour que l'équation [Em], m > 0, d'ordre n admette une X-iutégrale de rang 1 est 



') En appliquant la transformation {T^ 



= Ha, 



1=0 



J'éçris parfois , Z^, Z^, . . . pour z^, z-iq, zsq , . ..; cette désignation a l'avantage d'être indépen- 

 dante de l'ordre de l'équation. 



