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Louise Petrén 



[Hoq]m — O, et la condition nécessaire et suffisante pour que l'adjointe de l'équation 

 {Em), m<0, d'ordre n admette une X-intégrale de rang 1 est [Koq]m = 0 ou, 

 autrement dit, [jSToqJm - 1 = 0 ■ L'invariant Hôq est 



Ht 



Oq 





h 



h 



''q — 2 



h 







A 



0 







0 



bq-1 









^0 



0 





— 1)1 



0 



0 



0 



. bq 



-1 



bq-2 



bo 





1 



0 









«0 



0 







0 



1 



0 







«1 



0 







0 



0 



0 



0 





«7-2 







h { i -- 



= 0, 1, . 



..q — 



1) par bi -\- 



(M 



-1) 



cßi + i dans 



ce déterminant, 



Si l'on rempl 



l'on obtiendra la valeur de l'invariant [i/o'/]i- Nous pouvons écrire 



! = 0 



OÙ les coefficients di [i = 0, 1, ... q), fonctions des coefficients aj, bj [j = 0, 1, ... 5 — 1), 

 peuvent être calculés assez facilement. Après avoir calculé les coefficients 

 di = 0, 1, ... q), l'on obtient directement la valeur de l'invariant [Hoq]m', nous avons 



Oqjvi ■ 



i di [mcY 

 ; = 0 



La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation {E) admette une X-inté- 

 grale est ainsi que l'équation algébrique 



(75) V di {mcf = 0, 



! = 0 



m étant la quantité inconnue, ait une racine qui est un nombre entier positif; 

 si OTj est le plus petit nombre entier positif qui soit racine de l'équation (75), 

 l'équation [E) admet une Xintégrale de rang 1 et pas de Xintégrale de rang 



inférieur. Et la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation adjointe (jE") 

 admette une X-intégrale est que l'équation (75) ait une racine qui est un nombre 

 entier négatif ; si est le nombre entier négatif à la valeur absolue la plus petite 

 qui soit racine de l'équation (75), l'équation {E) admet une X-intégrale de rang — 

 et l'équation {E) n'admet pas de Xintégrale de rang inférieur. — Si T'équation {Em) est 

 d'ordre inférieur à n, les expressions ci-dessus obtenues pour les invariants de l'équa- 

 tion {Em) ne sont pas valables. Supposons que l'équation {E,,n), > 0, soit d'ordre 

 n et que l'équation {Em^-ir\) soit d'ordre inférieur; est alors le plus petit nombre 

 entier positif qui soit racine de l'équation (75). Supposons que l'équation {Em^ j^i) 

 soit d'ordre n — 1. Les équations 



(76) 



! = 0 



0, y{b,-^m,{i+])cai + ,)'-^=-.0 



1 = 0 



