Extension de la méthode de Laplace 



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admettent alors une — et une seule intégrale commune. Nous pouvons par 

 suite écrire 



<7-l 



y Qi — : = > , m — . 



7)ii> LJ P)?/' 



8W 8 



i = 0 



dy' \d!/ 



X, 



1 ' 



q-1 



i = 0 



1 = 0 



étant une constante. L'équation (-E'^J admet la Xintégrale e^i^X, et l'équation 

 (E) admet une X-intégrale de rang + 1 correspond à e^i?/. L'équation 



{Ein^ + i) peut s'écrire 



q- 1 



î = 0 



1^0 



d1/ 



Il résulte de ce qui précède que la condition nécessaire et suffisante pour que 

 l'équation + 1) admette une X-intégrale est qu'il -existe un nombre entier positif 

 r-^, pour lequel les équations 



(76') 



q-X 



tti 



nil + n 



!=() 



0, 



i = 0 



admettent une intégrale commune ; pour l'équation (74) est supposée a^-i = 0, mais 



il n'en suit pas äg^x = 0 ; il est aisé de voir que cette différence ne change pas le 



résultat en question. Je désigne — par S) et j'écris les équations (76) sous la 

 forme 



(77) 



'1-1 



ri (® - h)z,,, ^ 0, n (® - v-i)z.„i = 0, où x^ = 



1=1 



et les équations (76') sous la forme 



(77') 



i =2 



r, c 



4: n (® — X,- 



a® /j; 



(Le changement insignifiant de la manière d'écrire les équations, si hq-i ni^cq = 0, 

 se comprend de soi-même). En multipliant les équations (77') par le facteur ® — Xj, 

 nous obtiendrons les équations 



Il (®-X,-)Z,„,+,., = 0, 



!=1 



11 (S - 1J.,-)Z,„, + ,, + T Ucr, « 



Q (S _ X,) - Il (® - X,) Z,n, + = 0. 



