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Louise Petrén 



Une condition nécessaire pour que les équations (77') admettent une intégrale com- 

 mune est par suite que les équations 



Il (®-Xi)Z.,, + ,, =0, 



! = 1 



li (® — [}.,)Z,n, + n + 7 -r 



y A 



OU autrement dit les équations 



(78) V .,-^%tlL^o, 's'(/>,- + K + r,)(z+l)c«, + ,)^%f^^O, 



admettent une intégrale commune. Réciproquement, si les équations (78) admettent 

 une intégrale commune qui n'est pas e^i'', les équations (76') admettent aussi cette 

 intégrale commune. Mais e^-i'' ne peut être l'intégrale commune des équations (78) 



qu'à condition que soit une racine multiple de l'équation S a;X' = 0 et en 



i = 0 



5-1 



même temps racine de l'équation S &jX* = 0; comme nous avons supposé Hoq^O, 



1 = 0 



nous pouvons excepter ce cas. La condition nécessaire et suffisante pour que les 

 équations (76') admettent une intégrale commune est ainsi que les équations (78) 

 admettent une intégrale commune, et la condition nécessaire et suffisante en est 



z = 0 



La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation {Emi_ + i) admette une X-inté- 

 grale est ainsi que l'équation 



1 = 0 



r étant la quantité inconnue, ait une racine qui est un nombre entier positif. 

 Supposons que r, soit le plus petit nombre entier positif qui soit racine de cette 

 équation. L'équation {Em, + n) admet une X-intégrale de rang 1, et l'équation 

 {Emi + x) admet une X-intégrale de rang i\ et pas de X-intégrale de rang inférieur. 

 Supposons encore que l'intégrale commune des équations (78) et (76') soit e^^^-' ; 

 l'équation {Emi + u) admet l'intégrale e^'-"X et l'équation {E) admet par suite une 

 X-intégrale de rang -|- ''i + 1 q^^i correspond à e>^^'J . Écrivons + ^'i = '^2- 

 Nous avons ainsi montré que, si, après w^, est le plus petit nombre entier positif 

 qui soit racine de l'équation (75), l'équalion {E) admet une X-intégrale de rang 

 wîg + l. De même nous trouvons que la condition nécessaire et suffisante pour 

 que l'équation (Em^^i) d'ordre n — 2 admette une Xintégrale est qu'il existe un 

 nombre entier positif r^, pour lequel les équations 



(78') 'Tâi = 0, + {r, + r,)[i. + 1).«.+,] = 0 



