Extension de la niétliode de Laplaoe 97 



admettent une intégrale commune, car e^-^.'/ n'est une intégrale commune des der- 

 nières équations qu'à condition que est une racine multiple de l'équation 



>l q -1 



^ WjX' = 0 et en même temps une racine de l'équation 6^ X' = 0; et la condition 



1=0 (■ = 0 



nécessaire et suffisante pour que les équations (78') admettent une intégrale 

 commune est 



ich\(ni, + r,)cY = 0. 



1 = 0 



— Nous avons supposé jusqu'ici que l'équation {E,u, + i) soit d'ordre n — 1; si nous 

 supposons que l'équation {Em.+ i) soit d'ordre n — s, il en suit que est une ra- 

 cine d'ordre s de l'équation (75). — En continuant de cette manière nous obtiendrons: 

 La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (74) admette s X-intégrales 

 distinctes est que l'équation (75), m étant la quantité inconnue, ait s racines qui 

 sont des nombres entiers positifs ; si l'équation (75) a les racines , m^, . . . nis 

 qui sont des nombres entiers positifs, l'équation (74) admet s X-intégrales de rang 

 »Wj -f 1 , OTg -\- \ , . . . THs 1, et ces X-intégrales ne peuvent être remplacées par des 

 X-intégrales de rang inférieur; et si les équations 



admettent l'intégrale e^j'.'-J en commun, l'équation (74) admet une X-intégrale de 

 rang m/, -\- 1 qui correspond à e"'»^. Et la condition nécessaire et suffisante pour 

 que l'adjointe de l'équation (74) admette s X-intégrales distinctes est que l'équa- 

 tion (75) ait s racines qui sont des nombres entiers négatifs; si l'équation (75) a les 

 racines , m^, . . . nis qui sont des nombres entiers négatifs, l'adjointe de l'équation 

 (74) admet s X-intégrales de rang — Wj, — m^, . . . — m«, et ces X-intégrales ne 

 peuvent être remplacées par des intégrales de rang inférieur. Il en suit que la 

 condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (74) admette une F-intégrale 

 de rang r -\- 1 est que toutes les racines de l'équation (75) soient des nombres en- 

 tiers négatifs et que la somme des valeurs absolues des racines soit r -\- g. 



Pour reconnaître si l'équation (74) ou l'adjointe de l'équation (74) 

 admettent des intégrales de la forme d'Euler, et dans ce cas combien, il suffit 

 donc de calculer les q -\- 1 coefficients (?' = 0, 1, ... g) et d'examiner combien 

 des racines de l'équation (75) 



V (Ji {nicY = Ü 



! = 0 



{m étant la quantité inconnue) sont des nombres entiers, positifs ou négatifs. Jus- 

 qu'ici nous avons supposé Hoq ^ 0. Lorsque Hq^ = 0, nous pouvons ou diminuer 

 d'abord l'ordre de l'équation (74) ou former l'équation (75) directement; il est pour- 



tant à remarquer que si l'équation ^ ai X' = 0 a une racine multiple qui est en 



z = 0 



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