98 Louifie Petrén 



q-1 



même temps une racine de l'équation S &,X* = 0, il nous faut diminuer l'ordre de 



i = 0 



l'équation (74) d'abord, sinon, nous aurions di = 0 (i = 0, 1, ... q). Il suit de ce qui 

 précède que, si est une racine multiple de l'équation S ai X' = 0 et que l'équa- 



1 = 0 



tion (74) admette une X-intégrale qui correspond à e^^^^, celle-ci doit être de rang 1. 



Nous pouvons déduire de la proposition 12: La condition nécessaire et suffi- 

 sante pour que l'intégration de l'équation (74) [et par suite aussi celle de l'équation 

 adjointe] puisse être ramenée à l'intégration d'équations différentielles linéaires est 

 que toutes les racines de l'équation (75) soient des nombres entiers, négatifs ou 

 positifs (zéro inclusivement). Une condition nécessaire (pas suffisante) en est que 



— soit un nombre entier. Cela peut être démontré de la manière suivante : Supposons 



que l'équation (74) admette s X-intégrales de rang -\- 1, -\- 1, ... tug -\- l 

 (»î^ < m2 ^ ... j< w«) qui ne puissent être remplacées par des intégrales de rang 

 inférieur, et que l'équation adjointe admette q — s Jl-intégrales de rang r, -\- l, r^-\- 1, 

 ...rq^s-\- 1 (^1 ^^^2 ^ ''<?-«) <iui i^e puissent être remplacées par des X-inté- 

 grales de rang inférieur. Nous avons obtenue (page 93) 



[IIq-i]i = Hg_x-- qc, 



pourvu que l'équation {E^) soit d'ordre q-\-l. Si l'équation (-EJ est d'ordre ^9 -f 1, 

 il suit de la proposition 13 que nous aurons 



[jHp_l]l = Ilq-i— pC. 



Nous pourrons par suite écrire 



lorsque l'équation {Et) est d'ordre |)j + 1 et l'équation (^j + i) d'ordre p^ 1, i > 0. 

 En appliquant ces formules, nous obtiendrons 



[K^ _ s_ + 1 = Hq-x — '^(y, S^^i + (g — s)m^ . 



A l'aide de la preuve de la proposition 12 nous verrons que l'adjointe de 

 l'équation (£^m, + i) admet q — s X-intégrales ; les g — s X-intégrales sont de rang 

 r-j Ws + 2, + +2, ... r^_,s + ntg -f 2. L'invariant Hq^s-i pour l'équation 

 qui est adjointe à l'équation (_E',„^, + i) est [Kq-s~i]m, + i; si l'on applique la trans- 

 formation (Tj) nis -\- rq ^ s -\- 'i- fois de suite à cette équation adjointe, on est conduit, 

 si Tq - s-i< "i'q-s , à uue équatlou du second ordre, dont l'invariant (l'invariant 

 h d'après la désignation de Darboux) est 



+ C E {ri + m, + 1) . 

 I = 1 



Comme l'équation obtenue admet une X-intégrale de rang 1, l'invariant Hq de 

 cette équation doit être nul, c'est-à-dire 



