Extension de la méthode de Laplace 99 



[7f,_,_il,„^, + , + c'ï\ri + »Is + 1) - O , 

 i = i 



d'où suit 



Bq-i-cli nu + [q- s] ms — Ï V- + + 1 )] = O , 



H=l 1=1 / 



et ainsi 



H,_^ = ci nu - c'i]ri-\- \). 



1=1 i=l 



Si _ s _ = rç _ s , la seule différence dans la preuve sera qu'il faudra employer 

 une autre désignation pour l'invariant H^, puisque l'équation obtenue est d'ordre 

 supérieur au second. Par cela il est prouvé qu'une condition nécessaire pour que 

 l'intégration de l'équation (74) puisse être ramenée à l'intégration d'équations 

 différentielles linéaires est que l'on ait 



H,^, = c( Y mi-ï\r.t + 1)), 

 \i=i i = i / 



où autrement dit que la somme des racines de l'équation (75) soit — c'est-à-dire 



C 



— un nombre entier. 



Nous voyons que l'intégrale générale de l'équation (74) ne peut jamais être 

 représentée par une somme d'intégrales de la forme d'Euler. 



La condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale générale de l'équation 



soit représentée par n intégrales de la forme d'Euler est que l'équatien en question 

 soit de la forme 



L'équation 



^ \ dxdy' dy'l 



i = 0 



ne change pas pour les transformations {T^) et (T-i); il en suit que, si l'équation 

 en question admet une intégrale de la forme d'Euler, celle-ci est de rang 1. 



Je donnerai enfin quelques relations entre les invariants de l'équation (74) qui 

 pourraient être d'intérêt. Il résulte des expressions obtenues pour les invariants 

 de l'équation (E^) (page 93) que, si l'équation {Em) est d'ordre n, nous pourrons écrire 



j ji^O, \, ... q —j\ 



mr = "^hsu{rY ( y = 1,2, ...9 

 ' = 0 \r = 0, \, ... m 



hsij étant des fonctions de c, Uk, ht {k = 0, 1, . . . q — 1). Si l'équation 



