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Louise Petrén 



J 



{Ej + i) est d'ordre n, entre les ; + 2 équations [fïij],- -— X Ihijir)' [r = O, 1, ... j -\- 1), 



s = 0 ' 



les j 1 quantités hsij {s = 0, 1, . . . j) peuvent être éliminées, et nous obtiendrons 

 de cette manière l'équation 



[ ^di+i - (.7 + 1 ) [ tfijh + I -■•• + (- 1 ^.,(^.^^^^.)| ti^d. + • • . 



+ (--l)'(i+l)!/^.:/],4-(-îH+i//y = 0. 



11 en résulte 

 [^d- = 



pourvu que l'équation [Em) soit d'ordre n. Ce sont les 2q invariants Hq-j^ j, 

 Kq-j^j {j = l, 2, . . . q) qui sont du plus grand intérêt. Les équations obtenues nous 

 permettent d'exprimer les 2q invariants en question de l'équation [Em] — soit m > g, 

 soit m < 0 — d'ordre n, c'est-à-dire les invariants \Hq_jj]m, [Kq-jj]i„ {j = 1, 2, ... q), 

 en fonction des mêmes invariants des équations {E) , (-E",), ... {Eq-i) d'ordre 

 Je cite ces relations parce qu'il ne me semble pas impossible que des relations ana- 

 logues aient lieu pour l'équation générale (20), c'est-à-dire que les 2q invariants 



[Hq-jj],n, [Kq^jjlm {j=l,2, ...q), m ^ 0, soient des fonctions des invariants 



[J = h2,...q 



pourvu que les équations [Eq^i] et [Em] soient d'ordre ii. Ce sont les invariants 

 [Rq^jj]m [j = 1, 2, ... q , m — ... — 2, — 1, 0, 1 , 2, ...) qu'il est du plus grand intérêt 

 d'obtenir; mais si on calcule ces invariants par les relations données dans la proposition 

 13, l'on est obligé en partant de l'équation générale (20) de calculer un grand nombre 

 d'invariants sans intérêt pour les obtenir. Ce serait très intéressant, si après avoir 



calculé les invariants [5"^ _;./],• ^ hO.I,...^ Ij^ pouvait directement obtenir 



les invariants \Hn-j j]m i"^ V et f//(, - / /l,« l,2,...q\ ^^^^^ ■ y^ç. ^-^^ 



^ ' ■ \m > ■] — 1 / \m < — 1 / 



prononce pas sur la question de savoir si des relations du type mentionné existent 

 en vérité pour l'équation générale (20). 



Nous avons vu que, pour l'équation (74) il est facile de reconnaître à quel 

 point l'intégration de l'équation peut être simplifiée par la méthode de Laplace. 

 Mais cela n'est nullement le cas pour l'équation (20). Il est donc d'intérêt de 

 chercher d'autres critériums pour reconnaître si l'ordre de l'équation (20) peut être 

 diminué par l'application des transformations de Laplace. Il est tout naturel de géné- 

 raliser le critérium de Goursat. Pisati ^) a déjà étendu le critériumde Goursat à l'équation 



') Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 1905 pages 357 — 364. 



