Extension de la méthode de Laplace 



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11 — 1 



(79) y + y B,- = (p. — + ^ O, fyl,= 1; g+l 



La preuve de Pisati est en peu de mots ce qui suit. Supposons que l'équation 

 (79) admette m-\-l intégrales Cs («=1, 2, ...m-|-l), entre lesquelles il existe une 

 relation de la forme 



m 



Comme 



nous obtenons 



et ainsi 



d ^ 



7/1 



_8 



s = 1 ■ ' 5=1 



^/;(x)cp,c., = o. 

 .•■•^1 



La transformation 2'q = (Bi^, appliquée à l'équation (79), conduira par suite à une 

 équation qui admet les m intégrales 



Csi (s = 1, 2, . . . m), où Csi = 'fi Cs, 



entre lesquelles existe la relation 



En appliquant la transformation en question m — 1 fois (doit être m — 1 fois 

 au plus), nous obtiendrons une équation qui admet deux intégrales Ci, 777 -i et 

 C2, m-i, entre lesquelles il existe une relation de la forme 



C2, 7« — 1 =y(iC) Cl, 7)7-i; 



l'équation obtenue admet l'intégrale Ci, m — 1^, et l'ordre de cette équation peut être 

 diminué directement. En resumé, si l'équation (79) admet m-\-l intégrales entre 

 lesquelles existe une relation de la forme 



/// 



C,n+i = V f^[x) Cs, 



s =1 



l'équation peut, en appliquant la transformation 



Zq =^ Z 



m — 1 fois (doit être m — 1 fois au plus), être ramenée à une équation dont l'ordre 

 peut être diminué directement. Celte proposition peut aussi être prouvée conformément 

 à la preuve de Goursat '). Comme j'ai reçu de cette manière des résultats un peu 

 plus complets, je vais exposer cette preuve. 



') Voir page 8. 



