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Louise Petrén 



Supposons que l'équation (20) admette m-f-1 intégrales C? (*=1, 2, ...m-|-l) 

 linéairement indépendantes — c'est-à-dire qu'il n'y a entre elles aucune relation 

 linéaire et homogène à coefficients constants — entre lesquelles existe la relation 



m -1-1 



(80) 2,/;.(,^)C.^o. 



s = l 



S'il existait, entre les intégrales Cs (s = 1, 2, ... m -|- 1), >'+ 1 relations distinctes de 

 la forme (80), nous aurions pu entre ces r 1 relations éliminer r des intégrales 

 Ç, (s = 1, 2, . . . m -f- 1) et par suite obtenir une relation du type considéré entre 

 in-\-l — r des intégrales. Nous pouvons donc supposer qu'il n'existe qu'une seule 

 relation de la forme (80) entre les m -\- l intégrales C« (s = 1, 2, ...m-f-l). 

 Nous pouvons aussi supposer que les fonctions /s (a.) (s = 1, 2, . . . 1) dans cette 

 relation soient linéairement indépendantes, car s'il existait une relation de la forme 



m + l 



les coefficients «s étant des constants, nous pourrions écrire 



J, [x) C., = 0, où Ç, = Cx + a. Cl . 



Nous pouvons donc, sans diminuer la généralité, supposer qu'il n'existe qu'une 

 seule relation de la forme (80) entre les m-\-l intégrales C.s (5=-l, 2, ...m-\-l) 

 et que dans cette relation les fonctions fs{x) {s=\, 2, ...m-(-l) soient linéairement 

 indépendantes. 



Les m-fl intégrales Cs (.s = 1, 2, ...w-|-l) définissent une équation de la forme 



m 

 1=0 



Xi étant' des fonctions de x et de y. Les deux équations (20) et (81) admettent les 

 ni-\-\ intégrales C« [s = \, 2, . . . m -\- \) en commun, lesquelles sont linéairement 

 indépendantes. Nous pouvons toujours choisir des coefficients 



V^j (i = 0> 1), Vi, 03j (t = 0, 1, ...q — l), 



fonctions de x et de y, d'une telle manière qu'une identité 



ait lieu, et de même que Goursat ^) l'a prouvé pour l'équation (1), l'on peut prouver 

 à cet endroit aussi que nous aurons p = 0 et a,- = 0 [i = 0, 1, ...m — 1). Ainsi 

 existe l'identité 



^) Goursat, Leçons. T. II page 26. 



