Extension de la méthode de Laplace 103 



(81') "v „, ii y ^.?!ii£ + b,'^]^"y L^. + ^] v X, ^. 



if » S« y 3,</' ^ ' 8î/'/ ,f „ \ »■'^ sy 8*7 ,e'„ 8,'/' 



Les deux équations différeutielles linéaires 



g ■ m . 



admettent par suite au moins une intégrale commune. 

 Supposons que les deux équations 



q ■ m 



n'admettent qu'une intégrale commune. Nous pouvons supposer que l'intégrale 

 commune soit a.^ = f[x) (si ce n'était pas le cas, nous pourrions effectuer la substi- 

 tution z = \'^) ou autrement dit, nous pouvons poser Aq — X^^ = 0. — Supposons 

 ^0 = 0. Les équations 



V (a,^, + B,^, ^\ = 0, V X,.+, ^ = 0 



admettent les m -|- 1 intégrales 



U {.'=1, 2, ...m+l), où C.i=— , 

 en commun. De l'équation (80) il suit 



s= 1 



Mais comme les équations 



q — \ - . m — 1 



n'admettent pas d'intégrales communes, l'équation 



m + 1 



2/4^)C,, = 0, 



s = l 



où les fonctions fa{x) (s = 1, 2, ... m + 1) sont linéairement indépendantes, nous donne 

 Cl = 0 (i = 1, 2, . . . m -j- 1) et par suite C; = Xi, Xi désignant des fonctions de x. 

 Et comme nous avons supposé qu'il n'existe qu'une relation de la forme (80) entre les 

 intégrales Cs (•? = 1, 2, . . . w + 1), nous avons m = 1. Réciproquement, si nous supposons 

 TO— 1, il en résulte directement que nous aurons Bq = 0. Ainsi, dans le cas 

 considéré, m = 1 est la condition nécessaire et suffisante pour que l'on ait J5q = 0. 

 — Supposons maintenant ^ 0 (ou autrement dit m > 1). Écrivons 



