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Louise Petrén 



Daus l'identité (81') le coefficient de z est [J-o^o» puisque ^q = Xq = 0; par suite 



8^ 



nous avons (j.^ == 0. En substituant 



dy 



, l'identité (81') peut ainsi s'écrire 



7« — 2 



V 



8^ 



; = 0 



J = 0 



dx du' 



m — 1 



1 = 0 



Si l'on écrit l'équation qui définit 

 l'identité en question s'écrit 



dp' 



^1 = 0, 



m — 2 



7=0 1 = 0^ 



/ 



zu 



i =0 



dx dy-' 



CO,- 



ii 



sy 



m — X 



1 = 0 



Nous pouvons continuer de cette manière. Après avoir appliqué m — 1 trans- 

 formations (^j), convenablement choisies, nous obtenons une identité de la forme 



'/ -1 



im. — 1 



- 2 



/=0 



V (a 8'+^ , -D 8' 



L'équation qui définit Zm-i admet l'intégrale 



de. , 



d'+' 



dx dy^ 



0); 



dJ 



dyV \' dy ^ 



^m — 1 



aX, où 



S// 



X„a = 0. 



L'équation (20) admet ainsi une X-intégrale de rang m, laquelle est l'intégrale com- 

 mune des deux équations (20) et (81). — Des m-{-l intégrales Cs [s = 1, 2, ... m+1) 

 nous pouvons directement déduire la X-iutégrale de rang m. Ecrivons 



fi{x) Jïix) ... fï"\x) 



h{x) f2[x) f'i[x) ... ff'ix) 



fm+l[x) f'm+l{x) fm+l{x) ... fm\l{x 



Xi 



"^1 ~^ö^ ^î==l,2, ...)7!+l), 



OC* 



Xi 



Xi 



1 1 



X2 



Nous avons alors 



fi(x) = 



Xm-\-X Xrti Xm-\-l 



d log A 



(m) 



(m) 

 Xh 



(m) 

 Xm+1 



d Xi 



{m) 



2, 



11 suit de la relation (80) que les coefficients a,,, , . ..a^-i peuvent être choisis 

 de manière que nous ayons 



