Extension de la méthode de Laplace 



j» - 1 '^i (i ^= 1 ) <^ , 



m -f 1). 



L'équation (80) peut s'écrire 



8 = 



('"—1) 

 (m— 1) 



Cl 



Co 



Nous aurons 



f'^m-l — 1 



= 0. 



8S 



8S 



= ^ = t;^ 2, ...m+J), 



Sx, 



(7/1—1) 



arc 



(m— 2) 



et la Xintégrale de l'équation (20) est 



r(«i — X 



La valeur de est ainsi 



as 



as 



a Cr 



m + l 



fÅx) \ 



fr[x) 



m+l 



s = l 



aC. 



dx 



C'est par suite la Xintégrale correspondant à 



2 /■(^) 



qui est obtenue de cette manière. 



Supposons que les deux équations différentielles linéaires 



1 



3?/ 



8?/ 



105 



/ = Ü " i = fl 



admettent r intégrales distinctes en commun. Il en suit qu'il existe une identité 

 de la forme 



VfL — 1' • Q , -it 



(/ - r 



i = o 



— 2j,^ V^-'' dx di/j dîfl A w ^ a.-r _AJ„^' a?/ 



1« — 1 



Comme auparavant, nous obtenons p = 0 et o,- = 0 (i = 0, 1, ... m— 1). En procédant 

 toujours de la même manière, nous trouverons que l'équation (20) admet r X-intégrales 

 distinctes et que la somme de leur rang est m, quand les X-intégrales sont écrites 

 sous une telle forme que leur rang ne peut être réduit. Les r X-intégrales sont 

 des intégrales communes des équations (20) et (81). 



Réciproquement, il va de soi que, si l'équation (20) admet r X-intégrales 

 distinctes 



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