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Louise Petrén 



ao, Xf + a.,, Zp-^' + • . . + ««,-1, iX, (^=1,2.... r), 



r 



OÙ S m,- = m, l'équation (20) admet m -\- \ intégrales 



c. = ;^ («0. - + <^ ^ V • • • + -1, /^./) = 1 , 2, . , . + 1 ) 



entre lesquelles existe une relation de la forme (80). Nous obtenons cette relation 



en éliminant les m coefficients a,-,- r. 1. • ■ • wï, 1\ ^^^^^ les m + 1 équations 



■ \ï = 1, 2, . . . r / 



qui donnent les valeurs des intégrales Cs (s = 1 , 2, . . . m -]- !)• Si Ic-s r X intégrales 



peuvent être écrites sous une telle forme que la somme de leur rang soit m — p, 



j) + 1 relations de la forme en question existent entre les intégrales. 



Il est tout naturel d'essayer encore d'étendi'e le critérium de Goursat de 



manière à le faire valoir pour l' Z-intégrale de l'équation (20). Si l'équation (20) 



admet ^+1 intégrales (5=1, 2, ... g+l) linéairement indépendantes entre 



lesquelles il existe q relations distinctes de la forme 



^ /,•(//) C, =:0, 



; = 1 



l'équation (20) admet toujours une F-^intégrale de rang 1 ; mais nous ne pouvons 

 pas en conclure que si l'équation (20) admet q-\-r intégrales (*=1, 2, ...q-\-r) 

 linéairement indépendantes entre lesquelles il existe q relations distinctes de la forme 



i 1 



l'équation (20) admette une F-intégrale de rang r au plus; cela n'est pas le cas. 



Dans ce chapitre, ainsi que dans le chapitre précédent, je suis parti de 

 l'équation (20) 



y [Ai -f 7?,--^U = 0, = I ; ry -f 1 n\ 



Tous les résultats obtenus peuvent, sans trop de difficulté, être étendus à 

 l'équation (79) 



Ce n'est qu'en vue d'obtenir les résultats sous une forme aussi simple que possible 

 que j'ai supposé 2?,, = 0. 



