III. 



Dans ce chapitre, nous nous occuperons uniquement des équations (20) qui admet- 

 tent n intégrales distinctes de la l'orme d'Euler et dont l'intégrale générale peut ainsi 

 être obtenue sous i'orme explicite. 



Pour l'équation (1), Darboux ^) a montré que, si l'équation admet uue A^ inté- 

 urale de rang m -\- l et une Y-intégrale de rang r -j- 1, l'intégrale générale peut 



t5 



s'écrire 



(82) 



z= M 



X 



X' 





Y 



Y' 



Y' 





Xi .. 



(m) 



... x\ 



!h 



u'i ■ ■ ■ 



-Â 



X, 





("') 

 ... X-) 



Vt 





-à 



Xh 



x'h . . 



(m) 



yi< 



y'h ■■■ 



...vï 



('■) 



(/' = w + r+ I) 



Xh étant des fonctions déterminées de x qui sont linéairement indépen- 

 dantes, y^, ;</2 , ...yi, des fonctions déterminées de y qui sont linéairement indépen- 

 dantes et le l'acteur non essentiel M une fonction déterminée de x et de y; réci- 

 proquement, chaque expression de la forme (82), étant des fonctions 

 déterminées de x et y^, ^g, ... yu des fonctions déterminées de y et les coefficients 

 de X^™^ et de F^'^ dans le déterminant n'étant pas nuls, est l'intégrale générale 

 d'une équation de la forme (1). L'équation qui définit z peut s'écrire 



ou 



a = 



X, 



dxdy 



dij dx 



dy dy 



x^ x'i ... xf'-i) y, y'^ 

 f,' 



x„ ... xii"-^"» y.-, y'.. 



x,...:^"^ y„ </; 



■■yT 

 -yV 



yV 



ß = 



3logß\ z 

 dy )M 



= 0, 







x'x ... 



yi y'x ■ 



■ y'; 



-1) 



lA.ty ... "^-2 



y t y'z ■ 



■y'i 



1) 



-^/z ••• 



Vu y'h ■ 



■yî- 



-1) 



') Dakboux, Le(,'.ons. Partie II, Chap. II. 



