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Louise Petrén 



De l'intégrale générale écrite sous la forme (82), Darboux obtient directement 

 l'intégrale générale de toutes les équations qui sont obtenues en appliquant les 

 transformations de Laplace à l'équation (1) Darboux a montré que l'intégrale 

 générale de l'équation (£",■) (m _> ï >^ — r) est 



1^ 



X 



OCa 



X' 



X. 



X 



(m — i) 



,y,{m — i) 



4™ - 0 



ry^i'in — 7") 



Y Y' 



Vi y'i 



îfs y'i 



Vu y'h 



y ('■ + ») 



(r+0 



y\ 



(/î = r Aç- m -\- 1 ), 



où le facteur iV^ peut être choisi arbitrairement, puisque (£■,) désigne toutes les 

 équations équivalentes. Puis Darboux ^) a montré que l'intégrale générale de l'équa- 

 tion adjointe [JE') peut être déduite directement de l'intégrale générale de l'équatiou 

 {'E\ mise sous la forme (82); l'intégrale générale de l'équation [E') est 





X 



X' . 



. X'" 



Y 



Y' . 











■ ^1 





\ ■ 



■ 





^2 



a; . 







'% 



• ^if ^ 







^; • 



PC'-) 



'1/, 



% ■ 





ou 



8 log A 



Jl II 



m + r) 



ijCt 



h 



d log ® 



y 2 y-.-'-yi 



(»i + r) 



y,. yk---y, 



im + r) 



Nous allons essayer d'étendre ces résultats à Féquation (20). 

 Chaque expression de la forme 



(83) 



j ^1 ... Al A.2 ... A2 ■A.q Ji-q 



■^11 '^'11 



. . a;' 



.(//t[) 



hl 



7/1 • ■ ' /il //'i . 



"A 2 



■^22 



•^7(2 



'l 







• A,; 



r 



Y' .. 



Y ()■> 



^1, 





1'/ 



^1 











2ç 





y^ ■■ 



■ yV 









yi, 



y'k ■ 



■ yT 



h — Y Mi -\- r q 



où le coefficient de Y'^'^ n'est pas nul et où n'existe aucune relation de la forme 



(84) 



1 = 1 



^) Darboux, Leçons. Partie II, Chap. VI (page 131). 



