Extension de la niétliodc de Laplace 109 



«0, (/ = 1, 2, ...g) désignant les coefficients de Xf"'', est l'intégrale générale d'une 

 équation du type (20) d'ordre n. Par xy je désigne toujours des fonctions 

 déterminées de x et par y,- des fonctions déterminées de y. La proposition peut 

 être démontrée de la manière suivante. En différentiant l'équation (83), nous 

 pouvons obtenir 



dxd i/'i ' dxdy'' " ^ ' ■ ■ ' 8ä! ' âv^ ' ' ■ ■ ■ 



comme des fonctions linéaires et homogènes de 



^''-l 1 Al , • • • ^1 , ^2 , , • ■ • ^2 , -^q-, , . . . , J: , z , . . . J: 1 



les coefficients étant des fonctions déterminées de x et de y. Entre les 2g -)- 1 

 équations qui déterminent ces dérivées, nous pouvons éliminer les 2g quantités 



+ yO+O (e_i,2, ...g). 



Nous obtiendrons de cette manière une expression de la forme 



qui contient les dérivées de 'Xi (i=l, 2, ...g) jusqu'à l'ordre mi au plus, les 

 dérivées de Y jusqu'à l'ordre r au plus et qui s'annule pour 



Xj = ^U U= 1, 2, ... g) 

 Il en résulte que l'expression obtenue ne diffère que par un facteur du déterminant 

 (83) ; 0 satisfait par suite à une équation de la forme 



,^,\ dxdf ^ dy'l 



Comme il n'existe pas de relation de la forme (84), aoi étant les coefficients de 

 Xi"'^ dans le déterminant (83), les g X-intégrales dans le déterminant (83) ne peuvent 

 être remplacées par un nombre de X-intégrales moindre de g (selon la proposition 1). 

 Le déterminant (83) est ainsi l'intégrale générale d'une équation du type (20) 

 d'ordre n. 



Si nous supposons que le coefficient de Y'" dans le déterminant (83) ne soit 

 pas nul et qu'il existe s, et pas plus de s, relations distinctes de la forme (84), le 

 déterminant (83) est l'intégrale générale d'une équation de la forme 



{i=l, 2, ... h). 



Cela peut être prouvé de la manière suivante. Comme il existe s — et pas plus 

 de s — relations distinctes de la forme (84), les g quantités ao, (*=!, 2, ...g) 

 déterminent une équation d'ordre g — s 



