1 1 Louise Petréii 



Ai ^ = 0. 



3:'/' 



Eu diiïérentiant l'équation (8B), nous pouvons obtenir 

 comme des Fonctions linéaires et homogènes de 



Y ~yi v""'' V T^Owa) -ia -17-' A^'"'.;' V V V"''' + 9 — 



Al, Al, ... Al , Ag, A2, ... A2 , A,;, A,, , ... A,, ', J:, J; , ... i; , 



les coefficients étant des fonctions déterminées de et de y. En éliminant entre 

 les équations obtenues les q — s quantités == 1, 2, ... g — s), nous obtien- 



drons une expression de la forme 



qui contient les dérivées de Xi (i = 1, 2, ... q) jusqu'à l'ordre mi,- au plus, les 

 dérivées de Y jusqu'à l'ordre r au plus et qui s'annule pour 



Xj = .V(j U=\,2,... q) 



Ainsi l'expression obtenue ne diffère que par un facteur du déterminant (83), et s: 

 satisfait à une équation de la forme 



Comme il n'existe (|ue s relations distinctes de la forme (84), les q A'-intégrales dans 

 le déterminant (83) ne peuvent être remplacées par un nombre de A-intégrales moindre 

 de q — A'. Le déterminant (83) est ainsi l'intégrale générale d'une équation de la forme 



(/■= 1, 2, ... h). 



i = 0 



dxdy' dy' 



— La condition nécessaire et suffisante pour que les q X-intégrales dans le déterminant 

 (83) puissent être remplacées [)ar q — s X intégrales est ainsi qu'il existe s relations 

 distinctes de la forme (84). 



Enfin, si nous supposons que le coefficient de Y*^" dans le déterminant (83) 

 soit nul, il en résulte que ^ satisfait à une équation de la forme 



La condition nécessaire et suffisante pour que le déterminant (83) dépende d'une fonc- 

 tion arbitraire de y est ainsi que le coefficient de Z^'^ ne soit pas nul. 



