Extension de la méthode de Laplace 

 Proposition 14. Chaque expression de la forme 



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Al . 





X, 



X2 . 





... X, 



x; . 



• ^(/ 



Y 



Y' . 



. Y 





•^11 ■ 



/v.(mi) 









1'/ 





• ■^19 





y\ ■ 



■■ y'; 





x' 



■''21 ■ 



■ 21 





X 



22 









. ici™') 





y'2 ■ 



■ y'{ 









X 



hi 







/«/ 



X, . 



. x\"'i^ 



h q 



y,. 



y'i, ■ 



■■ yï 



t = 1 



le coefficient de F^'' n'étant pas nul et les coefficients de Xf"'' {i — \ . 2, ... q) déter- 

 minant une équation d'ordre q — 



i = 0 



représente l'intégrale générale d'une équation de la l'orme 



'1 - ^ 



Avant de démontrer la réciprocjue de cette proposition, nous allons examiner 

 sous quelles conditions les X-intégrales dans le déterminant (83) peuvent être rem- 

 placées par des intégrales de rang inférieur km^-\- 1, wî^ + 1, ... -)- 1 ou 1' F-inté- 

 grale est de rang inférieur à r -\- '\, puis nous allons aussi examiner de plus près 

 les conditions nécessaires et suffisantes pour que le déterminant (83) dépende d'une 

 fonction arbitraire de F et de q — s fonctions arbitraires de x. 



Supposons qu'existent les |j relations 



//, 



?//.• = y] ««•.'// 1 , 2, • • • v). 



les coefficients cin; étant des constantes. Dans le déterminant (83) nous pourrons 

 remplacer 



Xkj = 1 , 2, . . . q\ yi, 



par 



h h 



Xkj— aikXij (,y= 1, 2, ... q), ?/,, — ^ uu-yù 



i=P+l i^P+l 



de cettre manière toutes les yi; (k = 1, 2, ... p) seront remplacées par zéro. Suppo- 

 sons que les substitutions en question aient déjà été faites, ou autrement dit, supposons 



,y, = 0 (/.= 1, 2, ...i>). 



Nous pouvons toujours supposeï- mi^m>< ' <^'m,,. Supposons 



xu =0 (-/ = s + 1 , $ -|- 2, . . . (y), xu ^ 0. 



