Extension de la méthode de Laplace 113 



le déterminant (83) s'obtiendra sous une telle forme que le coefficient de Y sera 

 nul; l'ordre du déterminant peut se diminuer d'une unité, et le rang de 1' Y-intégrale 

 est r au plus. Lorsqu' existent les qs relations 



OÙ Oik sont des constantes, l'ordre du déterminant (83) peut se diminuer, de la même 

 manière, de s unités, et le rang de 1' Y^-intégrale est r -)- 1 — au plus. 



Nous voyons ainsi qu'il faut, pour que les Xintégrales dans le déterminant 

 (83) soient de rang m, -\- l, -\- 1, . . . niq -\- 1 et ne puissent être remplacées par 

 des intégrales de rang inférieur et que l' y-intégrale soit de rang r-)- 1, que 

 {i= 1, 2, ... h) soient linéairement indépendantes et qu'une même relation linéaire 

 et homogène de la forme 



h 



(84') S UiXij = 0, 



( = 1 



les coefficients a,- étant des constantes, n'existe pas pour j = 1,2, ... q. 



Nous allons examiner si ces conditions sont suffisantes aussi. 



Supposons que, dans le déterminant (83), pi {i = 1,2, ... /*) soient linéairement 

 indépendantes et qu'une même relation de la forme (84') n'existe pas pouv j = 1,2, ... g. 

 Nous allons montrer que, dans le cas où le coefficient de Y"' n'est pas nul, le 

 déterminant (83) ne s'annule que pour 



Xj= i biXij (i= 1,2, ... g), i htji, 



1=1 i=l 



les coefficients hi étant des constantes. Supposons que le déterminant (83) s'annule 

 pour 



Xj-fÂx) (.y ==1,2,... g), Y = g{y). 

 On pourra déterminer des coefficients finis Xj [i — \,2, ...h) tels que l'on ait 



{y) -ih y? (Ä- = 0, 1 , . . . r) , ff {X) = i h 4' ï ?' i' ■ ■ ■ ■ 



, = 1 ; = i \./ — 1, ... g / 



En différentiant ces équations par rapport à nous obtiendrons les h équations 



,é^,ar'^-~ ^ ' '■ ^' h^y ' U = i,2,...J- 



Comme nous avons supposé que le coefficient de F"' dans le déterminant (83) ne 

 soit pas nul, nous obtiendrons de ces h équations les h conditions 



i^ = 0 {i=1.2, ...h). 



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