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Louise Petrén 



En différentiant l'équation 



g [y] — S h Vi 



i = l 



par rapport à x, nous obtiendrons 



Comme (i = 1, 2, ... 7i) sont des fonctions de x, et que iji [i = 1, 2, ... h) sont 

 linéairement indépendantes, il suit de la condition 



que toutes les X,- = 1, 2, ... A) sont des constantes. Nous avons ainsi montré que 

 les fonctions fj[x) = 1, 2, ... g) et g[y) sont de la forme 



h h 



fi [A = S X,- a^y (i = 1 , 2, . . . g) , q [y] =^ S h Vi , 

 1 = 1 t = 1 



où Xt (i= 1, 2, ... 7i) sont des constantes. La preuve en question est la même que 

 celle que Darboux ^) a donnée pour le cas où q—l. Pour g = 1, le coefficient 

 de Y*" ne peut être nul sans qu'une relation de la forme 



h 



i = l 



Ui étant des constantes, ait lieu; mais dans le cas où g > 1, le coefficient de Y'"^^ 

 peut très bien être nul sans qu'une même relation de la forme (84') ait lieu pour 

 y = 1,2, ...g. La supposition que le coefficient de ne soit pas nul est ainsi 

 essentielle, inais la supposition qu'une même relation de la forme (84') n'ait pas lieu 

 pour ^' = 1, 2, ... g est superflue. 



Supposons que le coefficient de Y"'' dans le déterminant (83) ne soit pas nul, 

 que //,• [i = \,2, ... h) soient linéairement indépendantes et qu'une même relation 

 de la forme (84') n'existe pas pour j = 1, 2, ... g. Nous avons vu que le 

 déterminant ne s'annule que pour 



Xj = S hiXij (,y = 1, 2, . . . 2) , Y='ihiyi, 



i=l i=l 



hi étant des constantes. Il suit de la proposition 1 que la condition nécessaire et 

 suffisante pour que les g X-intégrales dans le déterminant (83) puissent être rem- 

 placées par des X-intégrales de rang inférieur à ni^ -[- 1 , ^ \ , ... m,, -|- 1 est que 

 le déterminant s'annule pour 



') Daeboux, Leçons. Partie II, pages 51, 52. 



