Extension de la méthode de Laplace 

 :fj{x) (; = 1,2, ...g), Y. 



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0, 



où toutes les fj[x) ne sont pas nulles. Comme iji (i = 1, 2, ... g) sont linéairement indé- 

 pendantes, cette condition ne peut être remplie. Et la condition nécessaire et 

 suffisante pour que l' Y-intégrale soit de rang inférieur à r -)- 1 est que le déter- 

 minant s'annule pour 



Xj = 0 (; = 1,2, ...g), 

 Mais comme il ne peut exister q relations 



\i hi Xij 

 1 = 1 



0 



hi étant des constantes, cette condition ne peut être remplie. 



La condition nécessaire et suffisante pour que les Xintégrales dans le déter- 

 minant (83) soient de rang -\- 1, \, ... mq -)- 1 et ne puissent être rem- 

 placées par des intégrales de rang inférieur et que l' iT-intégrale soit de rang r 1, 

 est ainsi que le coefficient de Z''* ne soit pas nul, que yi = 1, 2, ... /i) soient 

 linéairement indépendantes et qu'une même relation de la forme (84') n'existe pas 

 pour^ = 1, 2, ... g. 



Nous allons maintenant examiner de plus près les conditions pour que le 

 déterminant (83) dépende d'une fonction arbitraire de ?/ et de g fonctions arbi- 

 traires de X (voir page 110). 



Le coefficient de F*'' dans le déterminant (83) est (abstraction faite du signe) 



(85) a= 



X 



u 



X. 



11 



X. 



21 



X. 



21 



x: 



x: 



(mi) 

 11 



2t 



■^12 



X. 



(«2) 



12 



^1 



22 



X. 



22 



X\ 



X 



X 



h\ 



X 



h2 



X 



ta 



X- 



(?ïl2) 



h2 



X. 



X. 



2q 



X.. 



X 



hcj 



X 



hq 



™(m„) 

 •^2q 



hq 



Vi 



2/2 



'Jl 



y'-î 



■■ fi 



(r-l) 



Si yi [i= 1, 2. ... /i) sont linéairement indépendantes, le déterminant (85) n'est nul 

 que si tous les coefficients de {i=l, 2, ...h) dans le déterminant (85) sont 



nuls, ce qui suit de la preuve donnée pages 113, 114. Il en résulte que, si 

 yiii — \^ 2, ... h) sont linéairement indépendantes, le déterminant (85) n'est nul 

 que si tous les coefficients de 





^2 



■■ yn 



y'\ 





• • y 'h 



y,-i, 



y%-'' ■ 



■ yV" 



') La notation 



«II «1 

 a,, a 



22 •■■ 



{h > k) 



