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Louise Petrén 



dans le déterminant (85) sont nuls. Si toutes les y i = 1, 2, ... A) ne sont pas 

 linéairement indépendantes, mais que p relations linéaires et homogènes aient lieu 

 entre yi (i= 1, 2, . . /i), p des quantités yi {i= \, 2, ... A) peuvent être remplacées 

 par zéro dans le déterminant (83) (voir page 111). Supposons que les substitutions 

 en question aient été faites, autrement dit, supposons que l'on ait 



Vi = 0 2, . . .p) 



et que «/,• {i—p-\-l, + 2, ...h) soient linéairement indépendantes. Alors le 



déterminant (85) n'est nul que si tous les coefficients de yl~^^ [i = p A;- \, + 2, . . .h) 



dans le déterminant (85) sont nuls (ce qui peut être prouvé à peu près comme 

 auparavant). De cela nous pouvons encore déduire que le déterminant (85), où 

 y^ = 0 {i = \^2, ... p] et où y t (« = jj-fl, p -\- 2, . . . h) sont linéairement indépendantes, 

 n'est nul que si tous les coefficients de 





yp+2 



■■ Vu 







■■■ y'h 



(r— 1) 



()■— 1) 



()■—!) 





yp+2 



•■ Vu 



dans le déterminant (85) sont nuls. 



Nous avons trouvé (page 110) que la condition nécessaire et suffisante 

 pour que les q X-intégrales dans le déterminant (83) puissent être remplacées par 

 q — h X-intégrales est que h relations distinctes de la forme (84) existent, czq/ étant 

 les coefficients de X^.'"''^ dans le déterminant (83). — Lorsque le coefficient de 

 y"' est nul, il existe q — 1 relations distinctes du type en question. — Supposons 



que le coefficient de Y''^* dans le déterminant (83) ne soit pas nul. Nous allons 

 examiner quelles conditions doivent être remplies pour qu'une relation de la forme 

 (84) existe. La condition nécessaire et suffisante pour que les q X-intégrales 

 puissent être remplacées par des X-intégrales de rang inférieur à jw^ -f 1, -f- 1, 

 . . . -|- 1 est que yi [i = 1, 2, . . - h) ne soient pas linéairement indépendantes. 

 Supposons que p — et pas plus de p — relations linéaires et homogènes distinctes 

 existent entre yi (î = 1, 2, ...h). Supposons que les substitutions de la page 111 

 aient été faites, ou autrement dit, supposons que l'on ait 



^, = 0 {i=\, 2, ...p) 



et que yi [i = p-\-\, p -\-2, ...h) soient linéairement indépendantes. J'ai déjà 

 montré comment l'ordre du déterminant peut se diminuer de p unités (voir pages 



est employée pour désigner tous les déterminants 



(lu 0.1} ... (lu 



an a^j ... ass 

 flw o.kj ...au 



/i = l, 2, ... 7i\ 

 /=1, 2, ... h 



\s = 1, 2, ... h' 



