Extension de la méthode de Laplace 



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Nous avous ainsi trouvé que la condition nécessaire et suffisante pour que le 

 déterminant (83) où ?/,■ = Ü {i = 1, 2, ... p) et où «/,■ {i = 2^ -\- 1, p -\- 2, ... h) sont 

 linéairements indépendantes soit l'intégrale générale d'une équation du type (20) 

 d'ordre g + 1 est que tous les coefficients de 



y'p-j-i y'p -h2 •■• y'h 



y 



ir-X] 



dans le déterminant (85) ne soient pas nuls, et que tous les déterminants 



\)c I oc. 



/y. ^' 1) 



^21 ^21 



22 



'12 

 .«22 



/y<m2— 1) 



iQ 1'? 



2q 



ry.[m„—X) 



P2 • • 



P9 



pq 



ne soient pas nuls. 



Nous allons maintenant prouver la proposition suivante (la réciproque de la 

 proposition 14). Lorsque l'équation (2Ü) admet une F-intégrale de rang r -\- \ et 

 q X-intégrales de rang -f 1, -\- 1, ... -)- 1 qui ne peuvent être remplacées 

 par des X-iutégrales de rang inférieur, l'intégrale générale de l'équation (20) 

 peut s'écrire 



(87) z = M 



X, 



Xx 

 ^11 



X 



hX 



X 



hX 



•^Xl 



/y.(/)Il) 



X2 



Xn Xn 



X. 



X. 



X 



h'I 



X 



b'I 



•^112 



X, 



hq hq 



19 



hq 



Y 



Y' 



y'x 



yV 



h = ^ Wi 

 1 = 1 



r + q 



où yi {i=l,2, ...h) sont linéairement indépendantes, où une même relation de la 

 forme (84') n'existe pas pour j = 1, 2, ... q, où le coefficient de Y^'''' n'est pas nul 

 et où le facteur non essentiel M est une fonction déterminée de x et de y. Pour 

 l'équation (1), Darboux a démontré la proposition en question. Supposons que la 

 proposition soit vraie pour les équations du type (20) d'ordre n — 1, nous allons 

 montrer qu'alors elle est valable aussi pour l'équation (20). 



Supposons que l'équation (20) admette une F-intégrale de rang r + 1 et g 

 X-intégrales de rang mî^ -|- 1, in^ -\- 1, ... -\- l qui ne puissent être remplacées par 

 des X-intégrales de rang inférieur. Supposons m.^ <^ ... ^Wq. L'équation (20) 



peut être ramenée par iriy transformations (/J, convenablement choisies, à une équa- 

 tion de même type et de même ordre admettant une F-intégrale de rang r -\- m^-\- 1 

 et q X-intégrales de rang 1, Wg + 1, ... -\- 1 qui ne peuvent être remplacées par 

 des X-intégrales de rang inférieur. L'intégrale générale de cette dernière équation 

 est de la forme 



