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Louise Petrén 



(88) peut s'écrire sous la forme (90). L' equation dont l'intégrale générale est 

 a été obtenue par l'application de transformations [t^) à l'équation (20); si nous 

 appliquons seulement — 1 de ces transformations (t^) à l'équation (20), nous 

 obtiendrons une équation qui admet une F-intégrale de rang r -[- et g Z-inté- 

 grales de rang 2, m^-\-\, . . . + 1 qui ne peuvent être remplacées par des 

 X-intégrales de rang inférieur. L'intégrale générale de la dernière équation est 

 de la forme 



(91) = V (âo, Xf^^ 4- «i/Xi'"'-^) + . . . + + 



1 = 2 



les coefficients étant des fonctions déterminées de x et de y. Nous avons 



^mi = ^-01 = , 



dy «01 



et nous savons que Zm^-i peut s'exprimer linéairement à l'aide de et de dé- 

 rivés de ^,„1 . L'intégrale générale est donnée par l'équation (90), de l'autre côté 

 nous avons 



- 9 ^mi—l 

 ^mi = «01 T = , 



dy «Ol 



où Zmi-i est donnée par l'équation (91). Il faut qu'il existe une substitution de la 

 forme 



</ ™ 



Xi = .9i(^) X, + ^ ^ fiß [x) Xf , 



7=2 i:=0 



X,- = .9,-(.r) X, + S H = 2, 3, . . . g), 



où .9,(:r) it= 0 (i= 1, 2, ..g), qui fait passer, l'une à l'autre, les deux expressions des 

 q X-intégrales de l'intégrale Si nous effectuons cette substitution, nous 



obtiendrons l'intégrale générale (90) toujours sous la forme d'un déterminant; 



/ = 1, 2, ... M 



Xi (^■ = 1, 2, ... q), Xii 

 seront remplacées par Xi, xu, où 



1, 2, 



i =2 /v = 0 



2j A-'^(^) U- = 2 3 



et le déterminant sera multiplié par un facteur, fonction de x. Il va de soi qu'une 

 fonction /(y) peut être choisie telle que, si l'on remplace Y par /(^/)r dans l'équa- 

 tion (91), les deux expressions de 1' F-intégrale de l'intégrale g^, coïncident; suppo- 



