Extension de la méthode de Laplace 



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sons que cette substitution ait déjà été faite. Ainsi les coefficients JijiÅpc), fiiix) 

 peuvent être choisis de manière que les relations entre Zm-^-i et ^„^^ soient véri- 

 fiées pour toutes les formes possibles des fonctions arbitraires, lorsque iSm^—i est 

 définie par l'équation (91) et par l'équation 



(92) 



= M 



X, Xa X) 



X 



il 



X. 



X 



X 



h1 



12 



x,„ 



X, 



X. 



x 



X 



X 



hq 



Y Y' 



«('•+'"1) 



Il en résulte que l'expression de Zm^-\ donnée par l'équation (91) s'annule pour 



Xij 



Y = yi 



1, 2, ...h); 



et l'intégrale générale 0mi-i est, à un facteur près, qui est une fonction déterminée 

 de X et de y, 



(93) 



X, X, 



u 



X 



- I 



^11 



X 



/il 



X 



12 



X 



Xo 



- / 

 X 



h2 



Xn Xn 



X. 



X 



X. 



hq ^hq 



x^ 



' hq ' 



Y 



yi 



F 



yh Vh 



jr(r+mi-l) 

 ^('■+"'1-1) 



pourvu que ce déterminant ne soit pas identiquement nul. Le coefficient de Xx 

 dans le déterminant (98) est toujours le même que le coefficient de F' +mi) dans 

 le déterminant (92) (abstraction faite du signe), et ce coefficient n'est pas nul; par 

 conséquent, le déterminant (93) n'est pas identiquement nul. En continuant de 

 cette manière, nous pouvons démontrer que l'intégrale générale de l'équation (20) 

 est de la forme (87). Par conséquent, si la proposition en question est vraie pour 

 les équations du type (20) d'ordre w— 1, elle est vraie aussi pour l'équation (20); 

 donc, comme la proposition est valable pour l'équation (1), elle est prouvée pour 

 l'équation (20). 



Nous partons maintenant de la supposition que l'intégrale générale de l'équa- 

 tion (20) soit donnée sous la forme (83); le coefficient de FW dans le déterminant 

 (83) n'est pas nul, et aucune relation de la forme (84), ao,- étant les coefficients 

 de Xi"''\ n'a lieu. Nous allons examiner si l'intégrale générale de l'équation [Ei) 

 [i ^ 0) peut se déduire directement de l'intégrale générale (83). 



L'intégrale générale de l'équation [Et) [i > 0) peut être obtenue directement 

 de l'intégrale générale (83). Supposons <^m^ <_ . . . <^mq. De même que pour 

 l'équation (1), l'on trouve que l'intégrale générale de l'équation [Ei) (m^ >: ^ > 0) est 



X' Xo"'"'^ X X j^(™î~*) Y Y' y^'+'iO 



(94) 

 N 



Al ... Al 



xiiiH—i) 



x 



h2 



X 



h2 



' ■^■'hq ■^hq 



hq 



yh y'h 



