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Louise Petrén 



(la secoDrle ligne dans le déterminant exclue seulement pour abréger, ici comme, 

 de règle, plus loin dans les déterminants du même type), pourvu que ce déterminant 

 ne soit pas identiquement nul; comme {Et) désigne toutes les équations équivalentes, 

 le facteur non essentiel N peut être choisi arbitrairement. Supposons que 

 «/,■ [i=l, 2, ...h) soient linéairement indépendantes. Le déterminant (94) ne peut 

 être identiquement nul, car le coefficient de FC'+^O n'est nul qu'à condition que le 

 coefficient de Y^^'^ dans le déterminant (83) le soit aussi. De même, l'intégrale 

 générale de l'équation [Ei] (Wg >_ i > m,) est 



N 



Y Y' v("i2— 0 



A o A') . . . A9 



X, x',...xp 



{m-i) 



Y Y' ... Y' 



(>■) 



X 



hq liq 



(^='- + ^(3-l) + "^i+l) 



etc. — Mais supposons que l'on ait </,• = 0 (ti = 1, 2, ... j?) et que yi {i = p -]-\^ i> + 2, 

 ... /i) soient linéairement indépendantes. Le déterminant (94) est identiquement 

 nul seulement si tous les déterminants 



■^11 -^is 



rf,' /y.(l)l2 -i) 



lA.'j^fj • • • 



X-, x'. ... x{"''t~''> 

 Iq Iq Iq 



X , X ^ ... a;'^'"'^*^ X „ .x'., ... x x ... x^'"t~^^ 



pl pl pl p2 pi p2 pq pq pq 



sont nuls, c'est-à-dire seulement si l'équation (E) admet une X-iutégrale de rang 

 inférieur hi. 



Si nous appliquons la transformation 



à l'équation (20), nous obtiendrons une équation dont l'intégrale générale est 



^ q q 



«os 



... X, 



(nil) 



^h, s-1 • • • "^/i, .s-1 "^/is • • • ■•''/is "^/i, ,v+l • • • "^/i, s+1 



("îo) 



K'-hl) 



('■+1) 



OÙ M désigne toujours une fonction déterminée de x et de y. Et chaque expres- 

 sion de la forme 



N 



Aj Al ... Aj A g A.2 ^2 



(0 



/ - - \ 



U = r -|- ^ m,-; nti -j- 1 > > Oj 



^) C'est seulement par manque de place qu'ici, et parfois plus loin, les termes Xj , cc,^-, Y' , y'i 

 n'ont pas été écrits dans les déterminants. 



