Extension de la méthode de Laplace 



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(95) 



est l'intégrale générale d'une équation, obtenue de l'équation {E) h l'aide de Sm/ 



! = 1 



transformations (^,); bien entendu, à condition que le déterminant en question ne 

 soit pas identiquement nul. 



L'équation (20) peut s'écrire (47) 



1 A 

 T dl/ 



1 = 0 



d' + h g 8^ 



+ = 0, où 1 



Si nous appliquons la transformation 



i = 0 



r 4- ■■ 2, 



où 



1 ~ 1 ot 



r = 0 



;;•=!, 2,.....^-!,, 9 + 1, ...g). 



nous obtiendrons une équation dont l'intégrale générale est, à un facteur près, qui 

 est une fonction déterminée de x et de y, 



X ... x: 



inn) 



s — 1 '■■ .s— 1 s ■■■ s 6+1 



y(nis4-i) 



a 1 



Y 



(nn) 



X 



pourvu que ce déterminant ne soit pas identiquement nul. Mais il ne peut être 

 identiquement nul, parce que le coetficient de Xg"^^'^^^ est le même que le coefficient 

 de F^''' dans le déterminant (83). Il en résulte que la condition nécessaire et 

 suffisante pour que l'équation (20) soit de la forme 



(r-J) 



1 A- 



1 dtj 



î = 0 



0, 



où 



q-l 



! = 0 



==0 U^],2,...s-l,s^ 1,...3), 



est que le coefficient de Y^^'^^ dans le déterminant (95) soit nul. 



Supposons que l'équation adjointe {E') n'admette pas de X-intégrale de rang 1 

 et appliquons la transformation complètement déterminée (T_i) à l'équation (E). 

 L'intégrale générale de l'équation (E-±) est 



(96) N 



X, Zi ... Z{""-^-'^ X, X2...xt'^'^ X, X, ... X^'""^"-^ Y T...Y 



pourvu que le déterminant obtenu ne soit pas identiquement nul. En considérant 

 la transformation (T-i) comme composée de g transformations [t^i), nous trouvons, 



