126 



Louise Petrén 



à l'aide des résultats de la page précédente, que le coefficient de Y^'''~'^^ dans le 

 déterminant (96) ne peut être nul, puisque l'équation {E) n'admet pas de X-intégrale 

 de rang 1. — Mais si nous supposons que l'équation adjointe {E') admette une 



Xintégrale de rang 1, il en résulte que le coefficient de y'^^~''^ dans le déterminant 

 (96) est nul. La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (E') admette 

 une X-intégrale de rang 1 est ainsi que le déterminant 



X,, x'^^... x[f^+^) X,, x^,_...x<(^^+^) x^^ ... y[...y<(-'i~^^ 



soit nul. — De la même manière, nous pouvons montrer que l'intégrale générale 

 de l'équation (E-i) d'ordre n est 



X, ... xi"''+'^ X, X2 ... X, x:, ... Y r ... r^'-'^'^ 



N 



X 



/il 



^' /v.(j?ii+i) -y, ^' V("'2+î) -r' ^{"iq+V II 11' -)/(''— 'ZO 



La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation [E') n'admette pas une Z-inté- 

 grale de rang inférieur à ^ -f 1 est que le coefficient de Y^''^^^^ dans le déterminant 

 (96') ne soit pas nul. 



Proposition 15. Lorsque l'équation [E] admet une F-intégrale de rang r 1 

 et g X-intégrales de rang m-^ + 1, m, -|- 1, ... m^, + 1 qui peuvent être remplacées 

 par des X-intégrales de rang inférieur, l'intégrale générale peut s'écrire 



X, Ai...x^^ X, X2...xf^ X, x;...zr'^ Y r' ... F^''^ 



N 



h = ü w,- + r -|- 2 



i 



= 1 



(i = 1, 2, ... /ï) sont des fonctions de y qui sont linéairement indépendantes, 



Xii i{~ ^' ^' "' sont des fonctions de x entre lesquelles il n'existe pas une 

 V? = 1, 2, ... qj 



même relation de la forme 



h 



cti ocîj —— 0 ^ 



i= 1 



a,- étant des constantes, pour 1, 2, ... q, et le coefficient de Y^''^ n'est pas nul; 

 {E) désignant toutes les équations équivalentes, le facteur non essentiel iVpeut être 



