Extension de la méthode de Laplace 



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choisi arbitrairement. Supposons que l'intégrale générale de l'équation {E) soit 



donnée sous la forme considérée, et Xij remplissant les conditions ci-dessus 



nommées. Supposons <_ ^ ... <^ Wq . L'intégrale générale de l'équation 

 Ei {nis ^ i > est 



N 



■y y' v("1s-0 

 -As . . . 



/y* 'V O^C'ï's — ^) 



"lis 



"As 



Y Y ... Y^ 



X,.. a;;,., ... x, x^ . . . x^'"<i~''> w- w' ...iA''ù 



"hs ks' " fis 



r,. = r + î(g - s + 1) + s K+ 1)' 



Et l'intégrale générale de l'équation d'ordre w est 



Xj Xi ... 



X, X2 ... Xr+' X, X^ ... X^+'^ F F ... Y 



H 12 12 



/y.(m2+l) 



■;r()-— qi) 



La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation [E') admette une X-inté- 

 grale de rang inférieur h, i -\- \ [l'équation [E-i] étant ainsi d'ordre inférieur à n] 

 est que le coefficient de F(''- dans le dernier déterminant soit nul. 



Aussi l'intégrale générale de l'équation adjointe (23) peut être déduite directe- 

 ment de l'intégrale générale de l'équation (20), donnée sous la forme (83). Avant 

 de démontrer cette déduction, je vais d'abord prouver quelques tbèses de déter- 

 minants, dont je me servirai après pour déduire l'intégrale générale de l'équation 

 (20), donnée sous la forme (83). 



Écri 



crivons 



11 -^11 



x' ... X 



11 



21 21 ' ' ' 21 



' 1 2 ■'^12 



'^22 "^22 



■^22 



X. 



x. 



2q 



X 



hq 



X. 



1? ■■ 



X 



hq 



•^-Iç 



nr! r, 



hq 



h = Hi -\- q 



! = 1 



Supposons ® :)i 0. Écrivons 



8 log ® 



dxi'!^^ 



i= 1, 2, ... h 

 j=l,2, ...g, 



