Extension de la méthode de Lnplaee 135 



qu'elles ne puissent être reinplacées par des X-intégrales de rang inférieur, la somme 

 de leur rang est r -)- q. Pour déduire l'intégrale générale de l'équation (23) de 

 l'intégrale générale de l'équation (20) donnée sous la forme (83), il nous faut savoir 

 d'abord le rang des X-intégrales de l'équation (23) — il ne suffit pas de savoir que 

 la somme de leur rang est r -\- q. 



Supposons que, dans le déterminant (83), in (^ = 1, 2, . . . h) soient linéairement 

 indépendantes et qu'il n'existe pas une même relation de la forme (84') pour 

 y = 1, 2, ... g. Et supposons ;< <_ . . . <^ r/iq. 



Nous avons déjà vu (page 126) que la condition nécessaire et suffisante pour 

 que l'équation (£") admette une X-intégrale de rang inférieur à î + 1 est que le 

 coefficient de y^'"'*^ dans le déterminant (96') soit nul. Four abréger, désignons 

 les déterminants 





"7" 





x' 

 "11 





... Xj^^ 



•^11 



/}"(mi+î) 

 ■^21 





■^12 







t 



*12 



^22 



... Xj^.^ 



*^12 



™(m2+i) 











^Ig 





. . . x', 



hq 







hq 



par 



® + i, -\- j, . . . m,; -f le]. 



La condition nécessaire et suffisante pour que le coefficient de F^' '''^ dans le 

 déterminant (96') soit nul est que tous les déterminants 



® [wi^ + -{- i, . . . THg -\- i] , 



q 



qui sont d'ordre îmi+g(î+ 1), soient nuls, puisque t/i (i = 1, 2, . . . A) sont linéaire- 



i = l 



ment indépendantes. La condition nécessaire et suffi.sante pour que l'équation (23) 

 n'admette pas de X-intégrale de rang inférieur à 2^1 + 1 est ainsi que tous les 

 déterminants 



ne soient pas nuls. Supposons que tous les déterminants 



(101) S) [mj + , . . . + 2h - "'^-^ + i^i + 1 + + 1] ' 



