ExtfiiHion (le la métlicxle de Laplace 



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= 1 , 2, . . . q 

 1^1,2,-.. q 



J 



II eu résulte que l'iutégrale géuérale de l'équation {E) s'obtient du détenniiiaut (100) 

 de la même manière que l'intégrale générale de l'équation [E') a été obtenu du 

 déterminant (83), ce qui est tout naturel. 



Proposition 17. Si l'intégrale générale de l'équation {E) est donnée sous la 

 forme 



N 



X, zi . . . Zi""' X, X2 . . . x^r^ X, X', ... zï""^ Y T ... r"-' 



••• ^'n ••• *i<, •■• 4';;"^ -'^l •■■ ^î'^ 



<i ■ ■ • 4ï"^ ^/,2 • • • ^'hä'' ■ ■ ■ 4"'' y k y'u ■■■ y\? 



m = nii ; h = m -\- r q; Wj <^ in.^ < .■. < nti 

 1 = 1 



où i/i {i = 1,2, ... h) sont linéairement indépendantes et où une même relation de 

 la forme 



h 



ai étant des constantes, n'existe pas pour j = 1,2, ... q, l'intégrale générale de l'équa- 

 tion {E) en pourra être obtenue. L'équation [E') admet, comnae nous l'avons vu, 

 une F-intégrale de rang m 1 et q Z-intégrales distinctes, et si ces Z-intégrales 

 sont écrites sous une telle forme qu'elles ne puissent être remplacées par des 

 intégrales de rang inférieur, la somme de leur rang est r -{- q. La condition 

 nécessaire et suffisante pour que la Z-intégrale du rang le moins élevé de l'équa- 

 tion {E') soit de rang p-^ -\- 1 est que tous les déterminants 



® [m^ -f 4- 1 , + jOj + 1, ... w,/ + 1] 



(en ce qui concerne cette notation, voir page 135) soient nuls, sans que tous les 

 déterminants 



'3)[m^-\-p^, m^-\-p^,...mq-\rPi] 

 soient nuls. Supposons que tous les déterminants 



® [m^ + , ... m,,._i + , m,, + jy^ + 1, ... + j», -f- 1] 



soient nuls, sans que touS' les déterminants 



