Extension de la méthode de Laplace 



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admette une Xintégrale de raug w -)- 1 (l'équation (1) ainsi admettant une Z-inté- 

 grale de rang >« -j- 1 — r) est que l'on ait 





da 



8"' + la 







da 



d"'a 



a 









a 







dy 



g^m + l 







dy 



dy"' 



da. 



d'à 







da 



d'à 



8'" + la 





dxdy 



dxdy"^'^^ 



= 0, 



dx 



dxdy 



dxdy"' 



g'" + ia 



d"' + -a 







d"'a 



d'" + ^a 



d^"'a 





dx'"+^d}/ 



8.^'" + i8î/"' + ^ 





dx'" 



dx"' dy 



dx"'dy" 



Nous allons essayer d'étendre ces résultats aux équations du type (20) qui admetten 

 une Y-intégrale. 



Nous savons que si l'équation (20) admet une F-intégrale de rang r+ ], 

 l'équation peut se ramener, à l'aide de r transformations (^.-i), à une équation de 

 même type et de même ordre qui admet une F-intégrale de rang 1. 



Nous partons maintenant d'une équation (20) qui admet une F-intégrale de 

 rang 1 ; l'équation peut s'écrire 



8* 



(105) 



=0- 



8?/' \dxl 



Écrivons 



z 



"■1 



da. 



d'"-^a, 



«2 



9«2 



d"'-\ 





da-q 



d'"~'a,i 



dx 



dx"'-^ 



, dx 



dx"' ~ 1 



••• a. 



dx 



dx'" - 1 



dz 



da, 



8 s 



8'"«! 



8^ 



d\. 



d"'a^ 



da-q 



d'aq 



8"'a,^ 



dy 



dy 



dxdy 



dx"'-^dy 



dy 



dxdy , 



dx"'-^dy 



dy 



dxdy 



dx"'-^dy 



d''z 



8''«! 



d"+'a^ 



d''+"'~^a, 



d"a. 



8^ + ^S 



d''+'"-^a^ 



d''aq 



d"+'a„ 



8''+"'-' a,, 



dy'' 



dy' 



dxdy'' 



dx"'-^dy'' 



dy" 



dxdy'' 



dx"'-'^dy'' 



dy" 



dxdy'' 



dx"'~^dy''- 



(h = mq) 

 nctes de 



cette désignation, l'équation considérée s'écrit 



'J d'à 



ai [i = 1,2, ... q) étant q intégrales distinctes de l'équation (33) S -^i — 



r = o dy^ 



0 ^). D'après 



En partant de l'intégrale générale de cette équation, on peut déduire directement 

 l'intégrale générale de toutes les équations qui s'obtiennent, en appliquant la trans- 

 formation (Tj); l'intégrale générale de l'équation (£',) d'ordre n est 



où e est l'intégrale générale de l'équation (105); (Ei) désignant toutes les équations 



Dans ce chapitre, j'écris, pour abréger, a,- an lien de a„i . 

 Lnnds TJnivrs Årsskrift. N F. Afd. 2. Bd 7. 



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