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Louise Petién 



ait lieu. Par conséquent, si N Fm{z) est l'intégrale générale de l'équation [Em), 

 NFjn + i[^) est l'intégrale générale de l'équation (£"„,,1.1). Nous voyons directement 

 que l'intégrale générale de l'équation {E^ est N F^{s). Par suite, iV i^,- 4.1(5') est l'inté- 

 grale générale de l'équation + 1), à condition que l'on ait 



(106) 



Et 



F,(^l 



\dx' 

 dy \ dx' 



dx'/ dy 



ÔX 



Ei 



Ei 



dx' 

 dx' 



— 1 



Ei 



8% 

 dx' 



+ 0 



Supposons que i = m -f- 1 soit la valeur la plus petite de i pour laquelle le 

 déterminant (106) soit nul. Il en résulte qu'il existe entre ^-^ r. 1' "" ~^ \ 

 une relation linéaire et homogène, les coefficients étant des fonctions de x. Suppo- 



sons d'abord qu'il n'y ait qu'une telle relation entre 

 relation en question soit 



d^cLi = 0, 1, ... m + 1 



1 



^xi \ ?; = 1, 2, 



(107) 

 Ecrivons 



dx'"+^ 



^ 1=2 ' 1=1 i=0 



dx-i 



. Que la 



q-l 



V (.4,1 



1=0 



df 



(- 1)''-^ 

 n 



dz 



dy 



dy 



q-l 



dy "' + '\dx'"+' 



dy 



d^'+\ 



E, 



m+l 



d"'+\ 



dy "' + '\dx'-+' 



8"-^ j d"'+'aç \ 



ou 



•" + '[dx'"+'l 



d_ f d'"+\ 

 dy "' + '[dx'-+^ 



8« 



dy' 



—2 



da; 



8"'+^«a 

 8x'"+i 



dy + ' [dx"'+' 



/, ( 3 



dy'i- 



;» +1 



A 7^ (r'+^ 



dy '" + '\dx'-+' 



g^.,-2 ^^'" + 1 l^g^"<+l 



+ 0. 



