Extension de la méthode de Laplace 



149 



Nous obtieudroiis 



8' 



0 



h = 0, 1, ... m 

 i=],2, ...g 



et uue identité de la forme 



9-1 



3* 



S lM'r.+^ ^.(^«+l)x (^) + S [BiU+. ^ i^;.+ t (^) = ô 

 i=ü 1=0 



existe ainsi. Comme D:^0, il en suit que Fm+i{2) ne peut être l'intégrale d'une 

 équation du type (20) d'ordre inférieur k n — 1 . Il en résulte que l'équation 

 (Eyi+i) peut s'écrire 



1=0 



et ainsi l'équation {-É",,;-!-!) est d'ordre n — 1. Comme le déterminant (106) sera nul 

 pour i = m -\- 1, l'expression F.m+2(^} <^st identiquement nul. Il suit des valeurs des 

 coefficients [J.i]„!+i que l'intégrale générale de l'équation (^m+2) est 



(108) N 



0 



a, 





8™a^ 



"■2 - 



as 



aS 



••• a,, 



a a? 



d"a.q 



dx 



dx"' 







8aî 



dx'' 







d\ 





as 



d\ 





aa<2 





d'^+'o., 



dy 





dxdy 



dx^'dy 



dy 



dxdy 



dx''dy 



ay 



dxdy 



dx/'dy 



8% 









d'% 



d''+\ 



d'^+'^a^ 



aS 



d"+'r>.. 



d''+'% 



■dy'' 



dy" 



dxdy'' 



dx"'dy'' 



di/ 



dxdy'' 



dx^'dy'' 





dxdy'' 



dx''dy'' 











- 1) + 



w -|- ij 









où il faut substituer h = m -\- 1. En général, nous trouverons que l'intégrale générale 

 de l'équation {Eh-j-i), h > m, est donnée par le déterminant (108), pourvu que ce 

 déterminant ne soit pas identiquement nul, et il n'est identiquement nul que si 

 l'équation [Eh] est d'ordre inférieur à n — 1. De cette manière, nous pourrons 



continuer. — Nous sommes partis de ce qu'il n'existe entre r. 1' *^ ^ 



^ ^ dx}\t= 1,2, ... q 



qu'une relation linéaire et homogène, les coefficients étant des fonctions de x. Si nous 



..... , . 3^aW7 =0, l,...w + 1 

 supposons que s relations distmctes de ce type existent entre I ^ ^ ^ ^ 



nous trouverons de la même manière que l'intégrale générale de l'équation {E,n + i) 

 est NFm + ii^), et que l'équation {Em + \) est d'ordre n-- s. 



Il résulte directement de ce qui précède que la condition nécessaire et suffi- 

 sante pour que l'équation (105) admette une X-intégrale de rang inférieur hm.-\-2, ou 

 autrement dit que l'équation {Em-\-i)l soit d'ordre inférieur à n, est que le déterminant 

 (106) soit nul pour i = m -\- 1. Supposons de nouveau que i = m -{- l soit la valeur 



