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Louise Petrén 



la plus petite de i pour laquelle le déterminant (106) soit nul, et supposons que 



la relation entre [ ^ 1^2, ...g' \ ^^.^ relation (107). Il en résulte que 

 aa?^ == 0, 1, ... m 4- 1/ ^ ' ^ 



Q 



l'équation (105) admet une X-intégrale de rang m 1, correspondant à -|- Yifi{oc)ci-i-, 



i = 2 



et que l'équation n'admet pas de X-intégrale de rang inférieur. De ce qui précède, il 

 résulte que la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (105) admette 

 encore une X-intégrale de rang inférieur à m -)- 2, où m >. m , est qu'il existe 

 entre 



(; = 0, 1, ... m) 



dx^ \* = 2, 3, ...g J' dx^ 



une relation linéaire et homogène, les coefficients étant des fonctions de x. Nous 

 pourrons continuer de cette manière. A l'aide des valeurs de a,- {i = 1, 2, ... q) nous 

 pouvons reconnaître si l'équation (105) admet des Xintégrales et, dans ce cas, 

 décider quel est le rang de cette Xintégrale où de ces X-intégrales. 



De ce qui précède, nous pouvons déduire que la condition nécessaire et suffisante pour 

 que l'équation (105) admette q X-intégrales distinctes de rang ni^ -\- 1, Wg -|- 1, ... -f- 1, 

 où <^ . . . <^ w?ç , correspondant à , , . . . a, , qui ne peuvent être rem- 



placées par des X-intégrales de rang inférieur est qu'il existe des relations 



1 , ? "'i 



S /-'"'S ...,), 



A- = 1 j = 0 



sans qu'il y ait des relations de la forme 



q m, ■ q ms ,• m, 



etc. Faisons cette supposition. Ecrivons = w,. Les m -\- q quantités 



!" = 1 



^Jai (j = 0,1, ...mi 



^x-i M = 1,2, ... q 



déterminent une équation de la forme 



/ = 0 " 



— Supposons, inversement, que a,- {i == 1, 2, ... g) satisfassent à une équation de la 

 forme (109). Toutes les quantités (y > 0 ^' "" ^) des intégrales de cette 



37 a,- (i = 1,2, ... q\ , 

 equation, et par suite, si nous considérons \j > 0 / ^^"^^""^^^ tonctions 



de y, au plus m q de celles-ci peuvent être linéairement indépendantes. 11 en 



