Extension de la méthode de Laplace 



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résulte que l'équation (105) admet q X-intégrales distinctes qui peuvent s'écrire de 

 telle manière que la somme de leur rang soit m -\- q au plus 



La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (105) admette q 

 X-intégrales distinctes qui puissent s'écrire de telle manière que la somme de leur 

 rang soit m q au plus est ainsi que toutes les intégrales de l'équation (33) 



t = 0 



soient des intégrales d'une même équation de la forme (109). Nous pouvons aussi 

 dire que la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation 



i = 0 



1)' — C^iM) = 0 



admette une F-intégrale de rang m-\-l est que toutes les intégrales de l'équation 

 (33) satisfassent à une équation du type (109) d'ordre m -\- q, et qu'elles ne 

 satisfassent pas à une équation du même type, mais d'ordre moindre ^). — 11 résulte 

 de la proposition 15 du chapitre précédent que si l'équation (105) admet q 

 X-intégrales de rang m^+1, m.^-\-l, ...niq-\-l qui ne peuvent être l'emplacées par 

 des X-intégrales de rang inférieur, l'intégrale générale pourra s'écrire 



0= 



X 



11 



Xi 

 •■^11 



Al 



("il) 



X 



7il 



X 



/il 



-y.(nii) 

 ■^11 



■^/il 



X 



X. 



12 



x' 



12 



X 



X 



h1 



A-2 

 ■^12 



Xn Xn ... X, 



X. 



1<? 



X. 



1? 



X 



X, 



hq hq 



hq 



Y 



/h = m. -\- q\ 



m = y^nii 

 î" = i 



î/,- (i = l,2.../i) étant linéairement indépendantes et ® étant le coefficient de Y 

 dans le déterminant. Il en résulte que toutes les intégrales de l'équation (33) 

 satisfassent à l'équation 



a 



dci. 



3"! +9 a 

 dp 



Vh Vh 



0 {}i = m-\- q). 



et qu'elles ne satisfassent pas à une équation semblable, mais d'ordre moindre. 

 Ce résultat est identique à celui que nous venons d'obtenir. Réciproquement, nous 

 pourrons déduire la proposition 15, pour le cas où r = 0, du résultat que nous 

 avons obtenu ici. Nous voyons aisément que les deux résultats peuvent se déduire 

 l'un de l'autre. 



') Comparer Darboux, Leçons. Partie II, page 42. 



