152 Louise Petrén 





Écrivons 

















z 





do., 



d'''-^ a, 



"■i 



^ 2 



" 2 



. a,, 



d^-q 





dx 







dx''-'-'^ 



dx 



dx''''- 1 



ds 





0 0-] 



8'"' a, 









da.q 



d'0.q 



d''v 0.q 





dy 



dxdy 





dy 





dx''-'-^ dy 



dy 



dxdy 



dx'' -1 dy 





8'- a, 







d''o.. 







d''0.q 



d''+' ^q 





dtf 



dy'' 



dxdy'' 



dx'''-^dy'' 



dy'- 



r = v 



^ i=i ' 





dy 



dxdy'' 



dx''<r^dy'' 



, . . d''z 



Nous allons montrer que G{0) divisé par le coefficient de -g— ^, z étant toujours 



l'intégrale générale de l'équation (105) et a,- (^=1, 2, ...,q) étant g intégrales 

 distinctes de l'équation (33), est l'intégrale générale d'une équation du type (20) 

 d'ordre n au plus, laquelle on obtient de l'équation (105) en appliquant r trans- 

 formations (fj) convenablement choisies. Écrivons 



GUe) = ^ G(z) - gI— 

 ^ ' dx ^ ' \dx 



— Supposons l'i >_ 1 (i=l, 2, . ■ ■ q). De l'équation (105) nous obtiendrons 

 g(^^ = 0. La condition nécessaire et suffisante pour que G(z) satisfasse à une 

 équation 



est que l'identité 



|]^„.|l(^;(.)+|;iî,,.^.(?(.)^o . 



z = 0 f=0 



existe. Nous avons 



e;(5i^1=o = '■••■'■■-2 



a«V \i = 1, 2, ... q 



Comme 



il résulte des conditions 



2/.>^ft:(^y=« (* = >,2..-*) 



que les coefficients Air doivent être choisis d'une manière qui résulte de l'identité 

 suivante 



