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Louise Petrén 



OÙ 



z 



«1 



dy. 





«2 



85 



8''^-^c-2 



. aq 



8 «9 



8'''-^ aq 



dx 





&x 





2ix 





dz 





d'y, 



^ 1 



d'''-^ a, 









8a<, 



8 'a, 



H 



di/ 



dy 



dxdl/ 





dy 





8.2;''^-i 8?/ 



dy 



85c8?/ 



8.x'5"-^ 8// 



d'"^Z 





r y. 



gri+r-3 





8'' «2 







8''^v., 



8 '•^+'-2 7., 



dl/-' 



dl/-' 





dx''-'^df"^ 



dtf-^ 



('■ 



dx dy''-'^ 



= v ,) 



t = l / 





■ 8y''~i 





dx^'i-^dif- 



et ilf une fonctiou déterminée de x et de y. La transformation 



8''^~^^i 

 8a;''i-i 



82/ 



'■i-i , 



8a;' 



«•1-1 



est ainsi une transformation [t^] de l'équation dont l'intégrale générale est = ^(^). 



8'"^ 



Il en résulte que G[z) divisé par le coefficient de -g^. est l'intégrale générale d'une 



équation du type (20) d'ordre n au plus, qui peut se déduire de l'équation (105) 

 à l'aide de r transformations (/J. — Nous avons supposé ri>_\ [i = \,2, ... q). 

 Mais si nous supposons — r\ = . . . — Vg — 0, nous obtiendrons le même résultat. 



Supposons A ij: 0. G{z) est l'intégrale générale de l'équation (110) où les 

 coefficients Ai,- et Bù remplissent* les conditions (111), (111') et (111"). Posons 

 '"i ^ ''2 • • • ^ ''q- regardant la transformation z,- — G{2) comme composée de 



transformations {fq), y\ — 7\ transformations {tq-\), 

 (<J, l'on trouve que l'équation adjointe 



(112) |;(-i)' 



transformations 



i = 0 



8' + ^ 8' 



(^,vM_,.) : (Bir M_,.) 



dxdy' ^ ' dt ^ [ 



= 0 



admet q X-intégrales distinctes de rang -\- 1, ... -\- 1 qui ne peuvent 



être remplacées par des X-intégrales de rang inférieur. Chaque équation de la 

 forme (110) où les coefficients A^. et B,-, remplissent les conditions (111), (111') 



et (111") admet ainsi une F-intégrale de rang S -j- 1, et l'équation adjointe ad- 



met q X-intégrales distinctes de rang 7\ -\- ], -\- l, ... r,j -\- 1. 



Réciproquement, nous pourrons montrer que l'intégrale générale d'une équa- 

 tion du type (20) d'ordre n qui admet une F-intégrale de rang r -\- 1 et dont 

 l'équation adjointe admet q X-intégrales distinctes de rang rj -j- 1, rg -[- 1, ... r,; -|- 1, 



= r, peut toujours s'écrire sous la forme 



0r = MG{z), 



iy.q, M étant des fonctions de x et de y, et z étant l'intégrale générale 



où V,.. 



z = l 



«1, «2, 



de l'équation 



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