Extension de la méthode de Laplace 



di 



155 





d'^z 







dxdy^ ' 



' dxdif 



dy-. 



d'à, 



d'io., 



dy 



df 



dy'' 





d'\ 





dy 





dy'' 



0. 



Supposons que l'équation proposée soit (110), les coefficients Air et Bir étant des 

 fonctions de x et de y. Supposons <^r^ <^ ... <_rq. A l'aide de Vq — r^_i trans- 

 formations (ifj), r^-i — rq_2 transformations {t^,...r^ transformations [tq), l'équation 

 adjointe (112) peut se ramener à une équation du type (20) d'ordre n qui admet j 

 Xintégrales distinctes de rang 1. L'adjointe de l'équation obtenue peut ainsi, à 

 l'aide de la substitution z = \ë, se mettre sous la forme (105). De la manière dont 

 l'équation 



y (— 1)'-^ r{AiH)^Q 



a été déduite de l'équation (112), il résulte que les intégrales a,- (i = 1,2, ...q) de 

 l'équation Y,Ai—^ = 0 peuvent toujours être choisies d'une telle manière que l'équa- 

 tion (110) s'obtienne de l'équation (105) par la transformation z,- = MG{e), où M 

 est une fonction déterminée de x et de y. 



Par cela est donnée la forme générale de l'intégrale générale des équations 

 (20) qui admettent une F-intégrale. Je n'ai pas réussi à donner la forme générale 

 de l'intégrale générale des équations (20) qui admettent q X-intégrales distinctes, 

 et, par conséquent, je n'ai pas réussi non plus à déduire, de l'intégrale générale 

 0r=G-{z) de l'équation (110), l'intégrale générale de l'équation adjointe. 



Proposition 18. L'intégrale générale des équations (20) qui admettent une Y-inté- 

 grale est donnée par la formule 





e 





8a, 



dx 



8'-' -la, 

 dx''' - 1 



^ dx 



8'-^ - 1 a.2 

 8^'^-i 



ag 



d'y-q 

 dx 



8'''' - 1 a,, 

 8x'î - 1 





86 



8a, 



d\ 



8''' a, 





8'-^'a.3 



8a^ 



8-a, 



8''« 





"ày 



dy 



dxdy 



8^1?''^ - 1 dy 



8// d'dy 



8a:'-- -18// 



8// 



8^-8;/ 



8iC'''-^ 8y 





8'- 9 



8'a, 



8'+ la, 



8'' + a, 



8''a.2 8'' + la. 



d'' + '-'~^y-2 



8'' a,, 



8'' + la. 









dy' 



dx dy'' 



dx''' - 1 dy' 



dy'' dxdy'' 



dx"-'-^dy'' 



df 



dx dy'' 



8a;''? - ^ 8?/'' 







Sri; aj, 



a-a, ... a<j, 



M étant des fonctions déterminées 



de X 



et de î/; 



0 étant 



1=1 



l'intégrale générale de l'équation 



