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Louise Petrén 



admettent s intégrales distinctes communes. La condition nécessaire et suffisante 

 pour cela est obtenue par des différentiations et des éliminations. Si nous différen- 

 tions la première équation j -\- n — q — 1 fois par rapport à et la dernière équa- 

 tion y — - 1 fois par rapport à y et que nous éliminions les 2j -\- n — q — 1 quantités 



.„h 



(h = q-j + h q -:) + 2, ... n + j - 1) 



entre les équations obtenues, nous aurons une équation de la forme 



les'] coefficients Py étant des déterminants d'ordre 2j -\- n — ■ q. La condition néces- 

 saire et suffisante pour que l'équation (26) admette s X-intégrales distinctes de rang 

 1 est P,-, q _ = 0 = 0, 1, ... s — 1). Si nous supposons P,, ^ _ ,• = 0 (/ = 0, 1, . . . s — 1), 

 Ps, Q-s4^0, nous pourrons mettre l'équation (26) sous la forme 



q — s 



1 = 0 



Ph. - s a''^ 



i-j p 



0, 



les coefficients M;, Ni étant des fonctions de x et de y. ' 

 Nous désignons toujours la transformation 



?j = ff.Q — — , où 2j — 0 ■ 



I = 0 



8y «0 



comme une transformation (tj). Par cette transformation l'équation (26) est ramenée 

 à l'équation 



_1^ 



0 \i = l 



où 



-.11 — ! , . , , 



pourvu que jE?q 4^ 0. La transformation 



1 = 0 



» = 0 



! = 0 



appliquée à l'équation (26), conduit ainsi à une équation de même type et de même 

 ordre; les deux équations s'intègrent en même temps; de chaque intégrale de l'une 

 des équations, nous obtiendrons sans intégration une intégrale de l'autre équation. 

 Par la transformation 



